Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102479 / 99599
↖ ↑ ↗
← S 67.891053°
E101.466980°		 ← 114.95 m → S 67.891053°
E101.469727°		 →
↑
114.93 m
↓
↑
114.93 m
↓
S 67.892086°
E101.466980°		 ← 114.95 m →
13 212 m²		 S 67.892086°
E101.469727°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102479 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781856536865234 y=0.759883880615234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781856536865234 × 217)
    floor (0.781856536865234 × 131072)
    floor (102479.5)     		tx = 102479
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759883880615234 × 217)
    floor (0.759883880615234 × 131072)
    floor (99599.5)     		ty = 99599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102479 / 99599 ti = "17/102479/99599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102479/99599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102479 ÷ 217
    102479 ÷ 131072     		x = 0.781852722167969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99599 ÷ 217
    99599 ÷ 131072     		y = 0.759880065917969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781852722167969 × 2 - 1) × π
    0.563705444335938 × 3.1415926535     		Λ = 1.77093288
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759880065917969 × 2 - 1) × π
    -0.519760131835938 × 3.1415926535     		Φ = -1.63287461175797
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77093288} λ = 1.77093288}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63287461175797))-π/2
    2×atan(0.195367161415772)-π/2
    2×0.192936964584709-π/2
    0.385873929169417-1.57079632675     		φ = -1.18492240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77093288} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.466980°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18492240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.891053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102479 KachelY 99599 1.77093288 -1.18492240 101.466980 -67.891053
    Oben rechts KachelX + 1 102480 KachelY 99599 1.77098082 -1.18492240 101.469727 -67.891053
    Unten links KachelX 102479 KachelY + 1 99600 1.77093288 -1.18494044 101.466980 -67.892086
    Unten rechts KachelX + 1 102480 KachelY + 1 99600 1.77098082 -1.18494044 101.469727 -67.892086
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18492240--1.18494044) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dl = 114.932840000334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18492240--1.18494044) × R
    1.80400000000525e-05 × 6371000     		dr = 114.932840000334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77093288-1.77098082) × cos(-1.18492240) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376368947211914 × 6371000     		do = 114.952764215144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77093288-1.77098082) × cos(-1.18494044) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.37635223363426 × 6371000     		du = 114.947659458321m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18492240)-sin(-1.18494044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376368947211914-0.37635223363426)×R²
    abs(1.77098082-1.77093288)×1.67135776537597e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67135776537597e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67135776537597e-05×40589641000000     		ar = 13211.5543053232m²