Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102471 / 99301
↖ ↑ ↗
← S 67.580955°
E101.445007°		 ← 116.46 m → S 67.580955°
E101.447754°		 →
↑
116.53 m
↓
↑
116.53 m
↓
S 67.582003°
E101.445007°		 ← 116.45 m →
13 570 m²		 S 67.582003°
E101.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99301 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781795501708984 y=0.757610321044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781795501708984 × 217)
    floor (0.781795501708984 × 131072)
    floor (102471.5)     		tx = 102471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757610321044922 × 217)
    floor (0.757610321044922 × 131072)
    floor (99301.5)     		ty = 99301
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102471 / 99301 ti = "17/102471/99301"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102471/99301.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102471 ÷ 217
    102471 ÷ 131072     		x = 0.781791687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99301 ÷ 217
    99301 ÷ 131072     		y = 0.757606506347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781791687011719 × 2 - 1) × π
    0.563583374023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.77054939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757606506347656 × 2 - 1) × π
    -0.515213012695312 × 3.1415926535     		Φ = -1.6185894156712
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77054939} λ = 1.77054939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6185894156712))-π/2
    2×atan(0.198178048864124)-π/2
    2×0.195643071522676-π/2
    0.391286143045351-1.57079632675     		φ = -1.17951018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77054939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.445007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17951018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.580955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102471 KachelY 99301 1.77054939 -1.17951018 101.445007 -67.580955
    Oben rechts KachelX + 1 102472 KachelY 99301 1.77059732 -1.17951018 101.447754 -67.580955
    Unten links KachelX 102471 KachelY + 1 99302 1.77054939 -1.17952847 101.445007 -67.582003
    Unten rechts KachelX + 1 102472 KachelY + 1 99302 1.77059732 -1.17952847 101.447754 -67.582003
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17951018--1.17952847) × R
    1.82899999998654e-05 × 6371000     		dl = 116.525589999142m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17951018--1.17952847) × R
    1.82899999998654e-05 × 6371000     		dr = 116.525589999142m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77054939-1.77059732) × cos(-1.17951018) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381377669169337 × 6371000     		do = 116.458259254288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77054939-1.77059732) × cos(-1.17952847) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.381360761476242 × 6371000     		du = 116.453096286802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17951018)-sin(-1.17952847))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381377669169337-0.381360761476242)×R²
    abs(1.77059732-1.77054939)×1.69076930950363e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69076930950363e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69076930950363e-05×40589641000000     		ar = 13570.0665614624m²