Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102471 / 98515
↖ ↑ ↗
← S 66.743155°
E101.445007°		 ← 120.57 m → S 66.743155°
E101.447754°		 →
↑
120.60 m
↓
↑
120.60 m
↓
S 66.744240°
E101.445007°		 ← 120.57 m →
14 541 m²		 S 66.744240°
E101.447754°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102471 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781795501708984 y=0.751613616943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781795501708984 × 217)
    floor (0.781795501708984 × 131072)
    floor (102471.5)     		tx = 102471
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751613616943359 × 217)
    floor (0.751613616943359 × 131072)
    floor (98515.5)     		ty = 98515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102471 / 98515 ti = "17/102471/98515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102471/98515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102471 ÷ 217
    102471 ÷ 131072     		x = 0.781791687011719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98515 ÷ 217
    98515 ÷ 131072     		y = 0.751609802246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781791687011719 × 2 - 1) × π
    0.563583374023438 × 3.1415926535     		Λ = 1.77054939
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751609802246094 × 2 - 1) × π
    -0.503219604492188 × 3.1415926535     		Φ = -1.58091101256983
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77054939} λ = 1.77054939}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58091101256983))-π/2
    2×atan(0.205787537749285)-π/2
    2×0.202954255913914-π/2
    0.405908511827827-1.57079632675     		φ = -1.16488781
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77054939} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.445007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16488781 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.743155°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102471 KachelY 98515 1.77054939 -1.16488781 101.445007 -66.743155
    Oben rechts KachelX + 1 102472 KachelY 98515 1.77059732 -1.16488781 101.447754 -66.743155
    Unten links KachelX 102471 KachelY + 1 98516 1.77054939 -1.16490674 101.445007 -66.744240
    Unten rechts KachelX + 1 102472 KachelY + 1 98516 1.77059732 -1.16490674 101.447754 -66.744240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16488781--1.16490674) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dl = 120.603029999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16488781--1.16490674) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dr = 120.603029999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77054939-1.77059732) × cos(-1.16488781) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394853617607888 × 6371000     		do = 120.573302225662m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77054939-1.77059732) × cos(-1.16490674) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394836225712366 × 6371000     		du = 120.56799140114m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16488781)-sin(-1.16490674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394853617607888-0.394836225712366)×R²
    abs(1.77059732-1.77054939)×1.73918955221897e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73918955221897e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73918955221897e-05×40589641000000     		ar = 14541.1853351224m²