Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102470 / 98516
↖ ↑ ↗
← S 66.744240°
E101.442261°		 ← 120.59 m → S 66.744240°
E101.445007°		 →
↑
120.60 m
↓
↑
120.60 m
↓
S 66.745324°
E101.442261°		 ← 120.59 m →
14 544 m²		 S 66.745324°
E101.445007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781787872314453 y=0.751621246337891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781787872314453 × 217)
    floor (0.781787872314453 × 131072)
    floor (102470.5)     		tx = 102470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751621246337891 × 217)
    floor (0.751621246337891 × 131072)
    floor (98516.5)     		ty = 98516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102470 / 98516 ti = "17/102470/98516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102470/98516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102470 ÷ 217
    102470 ÷ 131072     		x = 0.781784057617188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98516 ÷ 217
    98516 ÷ 131072     		y = 0.751617431640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781784057617188 × 2 - 1) × π
    0.563568115234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.77050145
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751617431640625 × 2 - 1) × π
    -0.50323486328125 × 3.1415926535     		Φ = -1.58095894946945
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77050145} λ = 1.77050145}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58095894946945))-π/2
    2×atan(0.205777673169185)-π/2
    2×0.202944792093311-π/2
    0.405889584186622-1.57079632675     		φ = -1.16490674
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77050145} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.442261°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16490674 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.744240°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102470 KachelY 98516 1.77050145 -1.16490674 101.442261 -66.744240
    Oben rechts KachelX + 1 102471 KachelY 98516 1.77054939 -1.16490674 101.445007 -66.744240
    Unten links KachelX 102470 KachelY + 1 98517 1.77050145 -1.16492567 101.442261 -66.745324
    Unten rechts KachelX + 1 102471 KachelY + 1 98517 1.77054939 -1.16492567 101.445007 -66.745324
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16490674--1.16492567) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dl = 120.603029999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16490674--1.16492567) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dr = 120.603029999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77050145-1.77054939) × cos(-1.16490674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394836225712366 × 6371000     		do = 120.593146416927m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77050145-1.77054939) × cos(-1.16492567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394818833675356 × 6371000     		du = 120.587834441153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16490674)-sin(-1.16492567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394836225712366-0.394818833675356)×R²
    abs(1.77054939-1.77050145)×1.73920370097336e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73920370097336e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73920370097336e-05×40589641000000     		ar = 14543.5785354033m²