Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10247 / 6131
↖ ↑ ↗
← N 81.104263°
W123.711548°		 ← 94.45 m → N 81.104263°
W123.706055°		 →
↑
94.42 m
↓
↑
94.42 m
↓
N 81.103414°
W123.711548°		 ← 94.46 m →
8 918 m²		 N 81.103414°
W123.706055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10247 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6131 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156364440917969 y=0.0935592651367188 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156364440917969 × 216)
    floor (0.156364440917969 × 65536)
    floor (10247.5)     		tx = 10247
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0935592651367188 × 216)
    floor (0.0935592651367188 × 65536)
    floor (6131.5)     		ty = 6131
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10247 / 6131 ti = "16/10247/6131"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10247/6131.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10247 ÷ 216
    10247 ÷ 65536     		x = 0.156356811523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6131 ÷ 216
    6131 ÷ 65536     		y = 0.0935516357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156356811523438 × 2 - 1) × π
    -0.687286376953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15917383
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0935516357421875 × 2 - 1) × π
    0.812896728515625 × 3.1415926535     		Φ = 2.55379039035887
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15917383} λ = -2.15917383}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55379039035887))-π/2
    2×atan(12.8557398219233)-π/2
    2×1.49316638068069-π/2
    2.98633276136138-1.57079632675     		φ = 1.41553643
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15917383} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.711548°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41553643 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.104263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10247 KachelY 6131 -2.15917383 1.41553643 -123.711548 81.104263
    Oben rechts KachelX + 1 10248 KachelY 6131 -2.15907796 1.41553643 -123.706055 81.104263
    Unten links KachelX 10247 KachelY + 1 6132 -2.15917383 1.41552161 -123.711548 81.103414
    Unten rechts KachelX + 1 10248 KachelY + 1 6132 -2.15907796 1.41552161 -123.706055 81.103414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41553643-1.41552161) × R
    1.48199999998599e-05 × 6371000     		dl = 94.4182199991077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41553643-1.41552161) × R
    1.48199999998599e-05 × 6371000     		dr = 94.4182199991077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15917383--2.15907796) × cos(1.41553643) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154636875104516 × 6371000     		do = 94.4503121048539m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15917383--2.15907796) × cos(1.41552161) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154651516823304 × 6371000     		du = 94.4592550876214m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41553643)-sin(1.41552161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154636875104516-0.154651516823304)×R²
    abs(-2.15907796--2.15917383)×1.46417187879833e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46417187879833e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46417187879833e-05×40589641000000     		ar = 8918.25253766452m²