Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102468 / 99549
↖ ↑ ↗
← S 67.839309°
E101.436768°		 ← 115.18 m → S 67.839309°
E101.439514°		 →
↑
115.19 m
↓
↑
115.19 m
↓
S 67.840345°
E101.436768°		 ← 115.18 m →
13 268 m²		 S 67.840345°
E101.439514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102468 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99549 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781772613525391 y=0.759502410888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781772613525391 × 217)
    floor (0.781772613525391 × 131072)
    floor (102468.5)     		tx = 102468
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759502410888672 × 217)
    floor (0.759502410888672 × 131072)
    floor (99549.5)     		ty = 99549
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102468 / 99549 ti = "17/102468/99549"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102468/99549.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102468 ÷ 217
    102468 ÷ 131072     		x = 0.781768798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99549 ÷ 217
    99549 ÷ 131072     		y = 0.759498596191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781768798828125 × 2 - 1) × π
    0.56353759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.77040558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759498596191406 × 2 - 1) × π
    -0.518997192382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.63047776677697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77040558} λ = 1.77040558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63047776677697))-π/2
    2×atan(0.195835987843754)-π/2
    2×0.193388514708732-π/2
    0.386777029417465-1.57079632675     		φ = -1.18401930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77040558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.436768°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18401930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.839309°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102468 KachelY 99549 1.77040558 -1.18401930 101.436768 -67.839309
    Oben rechts KachelX + 1 102469 KachelY 99549 1.77045351 -1.18401930 101.439514 -67.839309
    Unten links KachelX 102468 KachelY + 1 99550 1.77040558 -1.18403738 101.436768 -67.840345
    Unten rechts KachelX + 1 102469 KachelY + 1 99550 1.77045351 -1.18403738 101.439514 -67.840345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18401930--1.18403738) × R
    1.80799999998094e-05 × 6371000     		dl = 115.187679998785m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18401930--1.18403738) × R
    1.80799999998094e-05 × 6371000     		dr = 115.187679998785m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77040558-1.77045351) × cos(-1.18401930) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377205488554321 × 6371000     		do = 115.18423371216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77040558-1.77045351) × cos(-1.18403738) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.377188744069664 × 6371000     		du = 115.179120582334m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18401930)-sin(-1.18403738))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377205488554321-0.377188744069664)×R²
    abs(1.77045351-1.77040558)×1.67444846566611e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67444846566611e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67444846566611e-05×40589641000000     		ar = 13267.5101693941m²