Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102467 / 96499
↖ ↑ ↗
← S 64.457402°
E101.434021°		 ← 131.69 m → S 64.457402°
E101.436768°		 →
↑
131.69 m
↓
↑
131.69 m
↓
S 64.458587°
E101.434021°		 ← 131.69 m →
17 342 m²		 S 64.458587°
E101.436768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102467 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781764984130859 y=0.736232757568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781764984130859 × 217)
    floor (0.781764984130859 × 131072)
    floor (102467.5)     		tx = 102467
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736232757568359 × 217)
    floor (0.736232757568359 × 131072)
    floor (96499.5)     		ty = 96499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102467 / 96499 ti = "17/102467/96499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102467/96499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102467 ÷ 217
    102467 ÷ 131072     		x = 0.781761169433594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96499 ÷ 217
    96499 ÷ 131072     		y = 0.736228942871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781761169433594 × 2 - 1) × π
    0.563522338867188 × 3.1415926535     		Λ = 1.77035764
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736228942871094 × 2 - 1) × π
    -0.472457885742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.4842702229358
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77035764} λ = 1.77035764}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4842702229358))-π/2
    2×atan(0.22666769721905)-π/2
    2×0.22290121252044-π/2
    0.44580242504088-1.57079632675     		φ = -1.12499390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77035764} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.434021°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12499390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.457402°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102467 KachelY 96499 1.77035764 -1.12499390 101.434021 -64.457402
    Oben rechts KachelX + 1 102468 KachelY 96499 1.77040558 -1.12499390 101.436768 -64.457402
    Unten links KachelX 102467 KachelY + 1 96500 1.77035764 -1.12501457 101.434021 -64.458587
    Unten rechts KachelX + 1 102468 KachelY + 1 96500 1.77040558 -1.12501457 101.436768 -64.458587
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12499390--1.12501457) × R
    2.06700000000559e-05 × 6371000     		dl = 131.688570000356m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12499390--1.12501457) × R
    2.06700000000559e-05 × 6371000     		dr = 131.688570000356m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77035764-1.77040558) × cos(-1.12499390) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431182020622968 × 6371000     		do = 131.694087723379m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77035764-1.77040558) × cos(-1.12501457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.431163370714054 × 6371000     		du = 131.688391561148m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12499390)-sin(-1.12501457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431182020622968-0.431163370714054)×R²
    abs(1.77040558-1.77035764)×1.86499089137038e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86499089137038e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86499089137038e-05×40589641000000     		ar = 17342.2310307792m²