Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102463 / 99552
↖ ↑ ↗
← S 67.842416°
E101.423035°		 ← 115.19 m → S 67.842416°
E101.425781°		 →
↑
115.19 m
↓
↑
115.19 m
↓
S 67.843452°
E101.423035°		 ← 115.19 m →
13 269 m²		 S 67.843452°
E101.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102463 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99552 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781734466552734 y=0.759525299072266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781734466552734 × 217)
    floor (0.781734466552734 × 131072)
    floor (102463.5)     		tx = 102463
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759525299072266 × 217)
    floor (0.759525299072266 × 131072)
    floor (99552.5)     		ty = 99552
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102463 / 99552 ti = "17/102463/99552"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102463/99552.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102463 ÷ 217
    102463 ÷ 131072     		x = 0.781730651855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99552 ÷ 217
    99552 ÷ 131072     		y = 0.759521484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781730651855469 × 2 - 1) × π
    0.563461303710938 × 3.1415926535     		Λ = 1.77016589
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759521484375 × 2 - 1) × π
    -0.51904296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.63062157747583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.77016589} λ = 1.77016589}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63062157747583))-π/2
    2×atan(0.195807826558476)-π/2
    2×0.193361393422256-π/2
    0.386722786844511-1.57079632675     		φ = -1.18407354
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.77016589} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.423035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18407354 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.842416°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102463 KachelY 99552 1.77016589 -1.18407354 101.423035 -67.842416
    Oben rechts KachelX + 1 102464 KachelY 99552 1.77021383 -1.18407354 101.425781 -67.842416
    Unten links KachelX 102463 KachelY + 1 99553 1.77016589 -1.18409162 101.423035 -67.843452
    Unten rechts KachelX + 1 102464 KachelY + 1 99553 1.77021383 -1.18409162 101.425781 -67.843452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18407354--1.18409162) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dl = 115.1876800002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18407354--1.18409162) × R
    1.80800000000314e-05 × 6371000     		dr = 115.1876800002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.77016589-1.77021383) × cos(-1.18407354) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.377155254730462 × 6371000     		do = 115.192922771398m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.77016589-1.77021383) × cos(-1.18409162) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.377138509875928 × 6371000     		du = 115.187808461811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18407354)-sin(-1.18409162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.377155254730462-0.377138509875928)×R²
    abs(1.77021383-1.77016589)×1.67448545340676e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.67448545340676e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.67448545340676e-05×40589641000000     		ar = 13268.5109741296m²