Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102459 / 99579
↖ ↑ ↗
← S 67.870369°
E101.412048°		 ← 115.05 m → S 67.870369°
E101.414795°		 →
↑
115.06 m
↓
↑
115.06 m
↓
S 67.871404°
E101.412048°		 ← 115.05 m →
13 238 m²		 S 67.871404°
E101.414795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781703948974609 y=0.759731292724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781703948974609 × 217)
    floor (0.781703948974609 × 131072)
    floor (102459.5)     		tx = 102459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.759731292724609 × 217)
    floor (0.759731292724609 × 131072)
    floor (99579.5)     		ty = 99579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102459 / 99579 ti = "17/102459/99579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102459/99579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102459 ÷ 217
    102459 ÷ 131072     		x = 0.781700134277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99579 ÷ 217
    99579 ÷ 131072     		y = 0.759727478027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781700134277344 × 2 - 1) × π
    0.563400268554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.76997414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.759727478027344 × 2 - 1) × π
    -0.519454956054688 × 3.1415926535     		Φ = -1.63191587376557
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76997414} λ = 1.76997414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63191587376557))-π/2
    2×atan(0.195554557153241)-π/2
    2×0.193117464338122-π/2
    0.386234928676245-1.57079632675     		φ = -1.18456140
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76997414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.412048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18456140 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.870369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102459 KachelY 99579 1.76997414 -1.18456140 101.412048 -67.870369
    Oben rechts KachelX + 1 102460 KachelY 99579 1.77002208 -1.18456140 101.414795 -67.870369
    Unten links KachelX 102459 KachelY + 1 99580 1.76997414 -1.18457946 101.412048 -67.871404
    Unten rechts KachelX + 1 102460 KachelY + 1 99580 1.77002208 -1.18457946 101.414795 -67.871404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18456140--1.18457946) × R
    1.80599999999309e-05 × 6371000     		dl = 115.06025999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18456140--1.18457946) × R
    1.80599999999309e-05 × 6371000     		dr = 115.06025999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76997414-1.77002208) × cos(-1.18456140) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376703378302465 × 6371000     		do = 115.054908078455m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76997414-1.77002208) × cos(-1.18457946) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.376686648650111 × 6371000     		du = 115.049798412005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18456140)-sin(-1.18457946))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376703378302465-0.376686648650111)×R²
    abs(1.77002208-1.76997414)×1.67296523536087e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.67296523536087e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.67296523536087e-05×40589641000000     		ar = 13237.9536781489m²