Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102459 / 96511
↖ ↑ ↗
← S 64.471610°
E101.412048°		 ← 131.63 m → S 64.471610°
E101.414795°		 →
↑
131.62 m
↓
↑
131.62 m
↓
S 64.472794°
E101.412048°		 ← 131.62 m →
17 325 m²		 S 64.472794°
E101.414795°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102459 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96511 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781703948974609 y=0.736324310302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781703948974609 × 217)
    floor (0.781703948974609 × 131072)
    floor (102459.5)     		tx = 102459
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736324310302734 × 217)
    floor (0.736324310302734 × 131072)
    floor (96511.5)     		ty = 96511
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102459 / 96511 ti = "17/102459/96511"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102459/96511.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102459 ÷ 217
    102459 ÷ 131072     		x = 0.781700134277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96511 ÷ 217
    96511 ÷ 131072     		y = 0.736320495605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781700134277344 × 2 - 1) × π
    0.563400268554688 × 3.1415926535     		Λ = 1.76997414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736320495605469 × 2 - 1) × π
    -0.472640991210938 × 3.1415926535     		Φ = -1.48484546573124
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76997414} λ = 1.76997414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48484546573124))-π/2
    2×atan(0.22653734575473)-π/2
    2×0.22277722752494-π/2
    0.44555445504988-1.57079632675     		φ = -1.12524187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76997414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.412048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12524187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.471610°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102459 KachelY 96511 1.76997414 -1.12524187 101.412048 -64.471610
    Oben rechts KachelX + 1 102460 KachelY 96511 1.77002208 -1.12524187 101.414795 -64.471610
    Unten links KachelX 102459 KachelY + 1 96512 1.76997414 -1.12526253 101.412048 -64.472794
    Unten rechts KachelX + 1 102460 KachelY + 1 96512 1.77002208 -1.12526253 101.414795 -64.472794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12524187--1.12526253) × R
    2.06600000001167e-05 × 6371000     		dl = 131.624860000743m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12524187--1.12526253) × R
    2.06600000001167e-05 × 6371000     		dr = 131.624860000743m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76997414-1.77002208) × cos(-1.12524187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43095827272566 × 6371000     		do = 131.62574935627m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76997414-1.77002208) × cos(-1.12526253) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.430939629631134 × 6371000     		du = 131.620055275329m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12524187)-sin(-1.12526253))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43095827272566-0.430939629631134)×R²
    abs(1.77002208-1.76997414)×1.86430945255944e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86430945255944e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86430945255944e-05×40589641000000     		ar = 17324.8460909417m²