Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102458 / 99238
↖ ↑ ↗
← S 67.514871°
E101.409302°		 ← 116.78 m → S 67.514871°
E101.412048°		 →
↑
116.84 m
↓
↑
116.84 m
↓
S 67.515922°
E101.409302°		 ← 116.78 m →
13 645 m²		 S 67.515922°
E101.412048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102458 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781696319580078 y=0.757129669189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781696319580078 × 217)
    floor (0.781696319580078 × 131072)
    floor (102458.5)     		tx = 102458
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757129669189453 × 217)
    floor (0.757129669189453 × 131072)
    floor (99238.5)     		ty = 99238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102458 / 99238 ti = "17/102458/99238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102458/99238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102458 ÷ 217
    102458 ÷ 131072     		x = 0.781692504882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99238 ÷ 217
    99238 ÷ 131072     		y = 0.757125854492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781692504882812 × 2 - 1) × π
    0.563385009765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76992621
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757125854492188 × 2 - 1) × π
    -0.514251708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.61556939099513
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76992621} λ = 1.76992621}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61556939099513))-π/2
    2×atan(0.198777456118721)-π/2
    2×0.196219760993123-π/2
    0.392439521986246-1.57079632675     		φ = -1.17835680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76992621} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.409302°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17835680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.514871°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102458 KachelY 99238 1.76992621 -1.17835680 101.409302 -67.514871
    Oben rechts KachelX + 1 102459 KachelY 99238 1.76997414 -1.17835680 101.412048 -67.514871
    Unten links KachelX 102458 KachelY + 1 99239 1.76992621 -1.17837514 101.409302 -67.515922
    Unten rechts KachelX + 1 102459 KachelY + 1 99239 1.76997414 -1.17837514 101.412048 -67.515922
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17835680--1.17837514) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dl = 116.844140000036m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17835680--1.17837514) × R
    1.83400000000056e-05 × 6371000     		dr = 116.844140000036m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76992621-1.76997414) × cos(-1.17835680) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382443622014121 × 6371000     		do = 116.783760778856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76992621-1.76997414) × cos(-1.17837514) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382426676178084 × 6371000     		du = 116.778586163964m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17835680)-sin(-1.17837514))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382443622014121-0.382426676178084)×R²
    abs(1.76997414-1.76992621)×1.69458360368413e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69458360368413e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69458360368413e-05×40589641000000     		ar = 13645.1957828405m²