Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102457 / 96516
↖ ↑ ↗
← S 64.477528°
E101.406555°		 ← 131.60 m → S 64.477528°
E101.409302°		 →
↑
131.62 m
↓
↑
131.62 m
↓
S 64.478711°
E101.406555°		 ← 131.59 m →
17 321 m²		 S 64.478711°
E101.409302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102457 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781688690185547 y=0.736362457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781688690185547 × 217)
    floor (0.781688690185547 × 131072)
    floor (102457.5)     		tx = 102457
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736362457275391 × 217)
    floor (0.736362457275391 × 131072)
    floor (96516.5)     		ty = 96516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102457 / 96516 ti = "17/102457/96516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102457/96516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102457 ÷ 217
    102457 ÷ 131072     		x = 0.781684875488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96516 ÷ 217
    96516 ÷ 131072     		y = 0.736358642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781684875488281 × 2 - 1) × π
    0.563369750976562 × 3.1415926535     		Λ = 1.76987827
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736358642578125 × 2 - 1) × π
    -0.47271728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.48508515022934
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76987827} λ = 1.76987827}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48508515022934))-π/2
    2×atan(0.226483054771325)-π/2
    2×0.222725586101393-π/2
    0.445451172202786-1.57079632675     		φ = -1.12534515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76987827} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.406555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12534515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.477528°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102457 KachelY 96516 1.76987827 -1.12534515 101.406555 -64.477528
    Oben rechts KachelX + 1 102458 KachelY 96516 1.76992621 -1.12534515 101.409302 -64.477528
    Unten links KachelX 102457 KachelY + 1 96517 1.76987827 -1.12536581 101.406555 -64.478711
    Unten rechts KachelX + 1 102458 KachelY + 1 96517 1.76992621 -1.12536581 101.409302 -64.478711
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12534515--1.12536581) × R
    2.06599999998947e-05 × 6371000     		dl = 131.624859999329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12534515--1.12536581) × R
    2.06599999998947e-05 × 6371000     		dr = 131.624859999329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76987827-1.76992621) × cos(-1.12534515) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.430865073462036 × 6371000     		do = 131.59728390221m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76987827-1.76992621) × cos(-1.12536581) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.430846429448066 × 6371000     		du = 131.591589540447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12534515)-sin(-1.12536581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.430865073462036-0.430846429448066)×R²
    abs(1.76992621-1.76987827)×1.86440139696709e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.86440139696709e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.86440139696709e-05×40589641000000     		ar = 17321.0993107888m²