Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102455 / 99256
↖ ↑ ↗
← S 67.533772°
E101.401062°		 ← 116.69 m → S 67.533772°
E101.403808°		 →
↑
116.72 m
↓
↑
116.72 m
↓
S 67.534821°
E101.401062°		 ← 116.69 m →
13 619 m²		 S 67.534821°
E101.403808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781673431396484 y=0.757266998291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781673431396484 × 217)
    floor (0.781673431396484 × 131072)
    floor (102455.5)     		tx = 102455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757266998291016 × 217)
    floor (0.757266998291016 × 131072)
    floor (99256.5)     		ty = 99256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102455 / 99256 ti = "17/102455/99256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102455/99256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102455 ÷ 217
    102455 ÷ 131072     		x = 0.781669616699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99256 ÷ 217
    99256 ÷ 131072     		y = 0.75726318359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781669616699219 × 2 - 1) × π
    0.563339233398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.76978240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75726318359375 × 2 - 1) × π
    -0.5145263671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.61643225518829
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76978240} λ = 1.76978240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61643225518829))-π/2
    2×atan(0.198606012146498)-π/2
    2×0.196054828300899-π/2
    0.392109656601798-1.57079632675     		φ = -1.17868667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76978240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.401062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17868667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.533772°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102455 KachelY 99256 1.76978240 -1.17868667 101.401062 -67.533772
    Oben rechts KachelX + 1 102456 KachelY 99256 1.76983033 -1.17868667 101.403808 -67.533772
    Unten links KachelX 102455 KachelY + 1 99257 1.76978240 -1.17870499 101.401062 -67.534821
    Unten rechts KachelX + 1 102456 KachelY + 1 99257 1.76983033 -1.17870499 101.403808 -67.534821
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17868667--1.17870499) × R
    1.83199999999051e-05 × 6371000     		dl = 116.716719999395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17868667--1.17870499) × R
    1.83199999999051e-05 × 6371000     		dr = 116.716719999395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76978240-1.76983033) × cos(-1.17868667) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382138808315757 × 6371000     		do = 116.690682249152m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76978240-1.76983033) × cos(-1.17870499) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.382121878649219 × 6371000     		du = 116.685512571811m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17868667)-sin(-1.17870499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382138808315757-0.382121878649219)×R²
    abs(1.76983033-1.76978240)×1.69296665382124e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.69296665382124e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.69296665382124e-05×40589641000000     		ar = 13619.4519930212m²