Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102455 / 96481
↖ ↑ ↗
← S 64.436078°
E101.401062°		 ← 131.77 m → S 64.436078°
E101.403808°		 →
↑
131.75 m
↓
↑
131.75 m
↓
S 64.437262°
E101.401062°		 ← 131.76 m →
17 361 m²		 S 64.437262°
E101.403808°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102455 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781673431396484 y=0.736095428466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781673431396484 × 217)
    floor (0.781673431396484 × 131072)
    floor (102455.5)     		tx = 102455
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736095428466797 × 217)
    floor (0.736095428466797 × 131072)
    floor (96481.5)     		ty = 96481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102455 / 96481 ti = "17/102455/96481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102455/96481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102455 ÷ 217
    102455 ÷ 131072     		x = 0.781669616699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96481 ÷ 217
    96481 ÷ 131072     		y = 0.736091613769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781669616699219 × 2 - 1) × π
    0.563339233398438 × 3.1415926535     		Λ = 1.76978240
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736091613769531 × 2 - 1) × π
    -0.472183227539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.48340735874264
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76978240} λ = 1.76978240}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48340735874264))-π/2
    2×atan(0.226863365063975)-π/2
    2×0.223087310710939-π/2
    0.446174621421877-1.57079632675     		φ = -1.12462171
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76978240} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.401062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12462171 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.436078°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102455 KachelY 96481 1.76978240 -1.12462171 101.401062 -64.436078
    Oben rechts KachelX + 1 102456 KachelY 96481 1.76983033 -1.12462171 101.403808 -64.436078
    Unten links KachelX 102455 KachelY + 1 96482 1.76978240 -1.12464239 101.401062 -64.437262
    Unten rechts KachelX + 1 102456 KachelY + 1 96482 1.76983033 -1.12464239 101.403808 -64.437262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12462171--1.12464239) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dl = 131.752279999969m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12462171--1.12464239) × R
    2.06799999999951e-05 × 6371000     		dr = 131.752279999969m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76978240-1.76983033) × cos(-1.12462171) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.431517804747301 × 6371000     		do = 131.76915283886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76978240-1.76983033) × cos(-1.12464239) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.43149914913563 × 6371000     		du = 131.763456123409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12462171)-sin(-1.12464239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431517804747301-0.43149914913563)×R²
    abs(1.76983033-1.76978240)×1.86556116716918e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86556116716918e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86556116716918e-05×40589641000000     		ar = 17360.5110431818m²