Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102452 / 96497
↖ ↑ ↗
← S 64.455034°
E101.392822°		 ← 131.68 m → S 64.455034°
E101.395569°		 →
↑
131.69 m
↓
↑
131.69 m
↓
S 64.456218°
E101.392822°		 ← 131.67 m →
17 340 m²		 S 64.456218°
E101.395569°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96497 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781650543212891 y=0.736217498779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781650543212891 × 217)
    floor (0.781650543212891 × 131072)
    floor (102452.5)     		tx = 102452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.736217498779297 × 217)
    floor (0.736217498779297 × 131072)
    floor (96497.5)     		ty = 96497
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102452 / 96497 ti = "17/102452/96497"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102452/96497.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102452 ÷ 217
    102452 ÷ 131072     		x = 0.781646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96497 ÷ 217
    96497 ÷ 131072     		y = 0.736213684082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781646728515625 × 2 - 1) × π
    0.56329345703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76963859
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.736213684082031 × 2 - 1) × π
    -0.472427368164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.48417434913656
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76963859} λ = 1.76963859}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.48417434913656))-π/2
    2×atan(0.226689429754121)-π/2
    2×0.222921882943618-π/2
    0.445843765887237-1.57079632675     		φ = -1.12495256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76963859} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.392822°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12495256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.455034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102452 KachelY 96497 1.76963859 -1.12495256 101.392822 -64.455034
    Oben rechts KachelX + 1 102453 KachelY 96497 1.76968652 -1.12495256 101.395569 -64.455034
    Unten links KachelX 102452 KachelY + 1 96498 1.76963859 -1.12497323 101.392822 -64.456218
    Unten rechts KachelX + 1 102453 KachelY + 1 96498 1.76968652 -1.12497323 101.395569 -64.456218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12495256--1.12497323) × R
    2.06699999998339e-05 × 6371000     		dl = 131.688569998942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12495256--1.12497323) × R
    2.06699999998339e-05 × 6371000     		dr = 131.688569998942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76963859-1.76968652) × cos(-1.12495256) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.431219319888121 × 6371000     		do = 131.678006896337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76963859-1.76968652) × cos(-1.12497323) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.43120067034766 × 6371000     		du = 131.672312034803m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12495256)-sin(-1.12497323))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.431219319888121-0.43120067034766)×R²
    abs(1.76968652-1.76963859)×1.86495404614351e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.86495404614351e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.86495404614351e-05×40589641000000     		ar = 17340.1134550788m²