Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102451 / 99249
S 67.526423°
E101.390076°
← 116.75 m → S 67.526423°
E101.392822°

116.72 m

116.72 m
S 67.527473°
E101.390076°
← 116.75 m →
13 627 m²
S 67.527473°
E101.392822°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102451 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99249 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781642913818359 y=0.757213592529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781642913818359 × 217)
    floor (0.781642913818359 × 131072)
    floor (102451.5)
    tx = 102451
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757213592529297 × 217)
    floor (0.757213592529297 × 131072)
    floor (99249.5)
    ty = 99249
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102451 / 99249 ti = "17/102451/99249"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102451/99249.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102451 ÷ 217
    102451 ÷ 131072
    x = 0.781639099121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99249 ÷ 217
    99249 ÷ 131072
    y = 0.757209777832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.781639099121094 × 2 - 1) × π
    0.563278198242188 × 3.1415926535
    Λ = 1.76959065
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.757209777832031 × 2 - 1) × π
    -0.514419555664062 × 3.1415926535
    Φ = -1.61609669689095
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76959065} λ = 1.76959065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61609669689095))-π/2
    2×atan(0.198672667224483)-π/2
    2×0.196118953166387-π/2
    0.392237906332774-1.57079632675
    φ = -1.17855842
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76959065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.390076°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17855842 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.526423°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102451 KachelY 99249 1.76959065 -1.17855842 101.390076 -67.526423
    Oben rechts KachelX + 1 102452 KachelY 99249 1.76963859 -1.17855842 101.392822 -67.526423
    Unten links KachelX 102451 KachelY + 1 99250 1.76959065 -1.17857674 101.390076 -67.527473
    Unten rechts KachelX + 1 102452 KachelY + 1 99250 1.76963859 -1.17857674 101.392822 -67.527473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-1.17855842--1.17857674) × R
    1.83199999999051e-05 × 6371000
    dl = 116.716719999395m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-1.17855842--1.17857674) × R
    1.83199999999051e-05 × 6371000
    dr = 116.716719999395m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(1.76959065-1.76963859) × cos(-1.17855842) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382257321630644 × 6371000
    do = 116.751225329381m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(1.76959065-1.76963859) × cos(-1.17857674) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382240392862076 × 6371000
    du = 116.746054847714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-1.17855842)-sin(-1.17857674))×
    abs(λ12)×abs(0.382257321630644-0.382240392862076)×
    abs(1.76963859-1.76959065)×1.69287685684583e-05×
    4.79399999999686e-05×1.69287685684583e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69287685684583e-05×40589641000000
    ar = 13626.51833578m²