Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10245 / 2470
↖ ↑ ↗
← N 77.283532°
E 45.109863°		 ← 537.82 m → N 77.283532°
E 45.131836°		 →
↑
537.90 m
↓
↑
537.90 m
↓
N 77.278694°
E 45.109863°		 ← 538.02 m →
289 348 m²		 N 77.278694°
E 45.131836°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625335693359375 y=0.150787353515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625335693359375 × 214)
    floor (0.625335693359375 × 16384)
    floor (10245.5)     		tx = 10245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150787353515625 × 214)
    floor (0.150787353515625 × 16384)
    floor (2470.5)     		ty = 2470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10245 / 2470 ti = "14/10245/2470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10245/2470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10245 ÷ 214
    10245 ÷ 16384     		x = 0.62530517578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2470 ÷ 214
    2470 ÷ 16384     		y = 0.1507568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.62530517578125 × 2 - 1) × π
    0.2506103515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78731564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1507568359375 × 2 - 1) × π
    0.698486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.19435951700769
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78731564} λ = 0.78731564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19435951700769))-π/2
    2×atan(8.9742513603595)-π/2
    2×1.45982420790784-π/2
    2.91964841581568-1.57079632675     		φ = 1.34885209
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78731564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.109863°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34885209 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.283532°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10245 KachelY 2470 0.78731564 1.34885209 45.109863 77.283532
    Oben rechts KachelX + 1 10246 KachelY 2470 0.78769913 1.34885209 45.131836 77.283532
    Unten links KachelX 10245 KachelY + 1 2471 0.78731564 1.34876766 45.109863 77.278694
    Unten rechts KachelX + 1 10246 KachelY + 1 2471 0.78769913 1.34876766 45.131836 77.278694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34885209-1.34876766) × R
    8.44300000000242e-05 × 6371000     		dl = 537.903530000154m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34885209-1.34876766) × R
    8.44300000000242e-05 × 6371000     		dr = 537.903530000154m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78731564-0.78769913) × cos(1.34885209) × R
    0.000383490000000042 × 0.220126585154493 × 6371000     		do = 537.816528521711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78731564-0.78769913) × cos(1.34876766) × R
    0.000383490000000042 × 0.220208943412948 × 6371000     		du = 538.017747436846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34885209)-sin(1.34876766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220126585154493-0.220208943412948)×R²
    abs(0.78769913-0.78731564)×8.2358258454901e-05×R²
    0.000383490000000042×8.2358258454901e-05×6371000²
    0.000383490000000042×8.2358258454901e-05×40589641000000     		ar = 289347.527539255m²