Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10245 / 14341
↖ ↑ ↗
← N 70.603495°
W123.722534°		 ← 202.84 m → N 70.603495°
W123.717041°		 →
↑
202.85 m
↓
↑
202.85 m
↓
N 70.601671°
W123.722534°		 ← 202.86 m →
41 149 m²		 N 70.601671°
W123.717041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10245 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14341 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156333923339844 y=0.218833923339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156333923339844 × 216)
    floor (0.156333923339844 × 65536)
    floor (10245.5)     		tx = 10245
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218833923339844 × 216)
    floor (0.218833923339844 × 65536)
    floor (14341.5)     		ty = 14341
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10245 / 14341 ti = "16/10245/14341"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10245/14341.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10245 ÷ 216
    10245 ÷ 65536     		x = 0.156326293945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14341 ÷ 216
    14341 ÷ 65536     		y = 0.218826293945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156326293945312 × 2 - 1) × π
    -0.687347412109375 × 3.1415926535     		Λ = -2.15936558
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218826293945312 × 2 - 1) × π
    0.562347412109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.76666649859755
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15936558} λ = -2.15936558}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76666649859755))-π/2
    2×atan(5.85131544639484)-π/2
    2×1.4015298872454-π/2
    2.8030597744908-1.57079632675     		φ = 1.23226345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15936558} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.722534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23226345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.603495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10245 KachelY 14341 -2.15936558 1.23226345 -123.722534 70.603495
    Oben rechts KachelX + 1 10246 KachelY 14341 -2.15926971 1.23226345 -123.717041 70.603495
    Unten links KachelX 10245 KachelY + 1 14342 -2.15936558 1.23223161 -123.722534 70.601671
    Unten rechts KachelX + 1 10246 KachelY + 1 14342 -2.15926971 1.23223161 -123.717041 70.601671
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23226345-1.23223161) × R
    3.18400000001162e-05 × 6371000     		dl = 202.85264000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23226345-1.23223161) × R
    3.18400000001162e-05 × 6371000     		dr = 202.85264000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15936558--2.15926971) × cos(1.23226345) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332103596483323 × 6371000     		do = 202.844815105024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15936558--2.15926971) × cos(1.23223161) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.332133629169466 × 6371000     		du = 202.863158702421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23226345)-sin(1.23223161))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332103596483323-0.332133629169466)×R²
    abs(-2.15926971--2.15936558)×3.00326861437661e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.00326861437661e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.00326861437661e-05×40589641000000     		ar = 41149.4667816494m²