Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102445 / 99247
↖ ↑ ↗
← S 67.524323°
E101.373596°		 ← 116.74 m → S 67.524323°
E101.376342°		 →
↑
116.78 m
↓
↑
116.78 m
↓
S 67.525374°
E101.373596°		 ← 116.73 m →
13 632 m²		 S 67.525374°
E101.376342°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102445 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781597137451172 y=0.757198333740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781597137451172 × 217)
    floor (0.781597137451172 × 131072)
    floor (102445.5)     		tx = 102445
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757198333740234 × 217)
    floor (0.757198333740234 × 131072)
    floor (99247.5)     		ty = 99247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102445 / 99247 ti = "17/102445/99247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102445/99247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102445 ÷ 217
    102445 ÷ 131072     		x = 0.781593322753906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99247 ÷ 217
    99247 ÷ 131072     		y = 0.757194519042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781593322753906 × 2 - 1) × π
    0.563186645507812 × 3.1415926535     		Λ = 1.76930303
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757194519042969 × 2 - 1) × π
    -0.514389038085938 × 3.1415926535     		Φ = -1.61600082309171
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76930303} λ = 1.76930303}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61600082309171))-π/2
    2×atan(0.198691715641002)-π/2
    2×0.196137278208939-π/2
    0.392274556417879-1.57079632675     		φ = -1.17852177
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76930303} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.373596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17852177 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.524323°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102445 KachelY 99247 1.76930303 -1.17852177 101.373596 -67.524323
    Oben rechts KachelX + 1 102446 KachelY 99247 1.76935096 -1.17852177 101.376342 -67.524323
    Unten links KachelX 102445 KachelY + 1 99248 1.76930303 -1.17854010 101.373596 -67.525374
    Unten rechts KachelX + 1 102446 KachelY + 1 99248 1.76935096 -1.17854010 101.376342 -67.525374
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17852177--1.17854010) × R
    1.83300000000663e-05 × 6371000     		dl = 116.780430000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17852177--1.17854010) × R
    1.83300000000663e-05 × 6371000     		dr = 116.780430000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76930303-1.76935096) × cos(-1.17852177) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.382291188023313 × 6371000     		do = 116.737213225441m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76930303-1.76935096) × cos(-1.17854010) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.382274250270919 × 6371000     		du = 116.732041078987m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17852177)-sin(-1.17854010))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382291188023313-0.382274250270919)×R²
    abs(1.76935096-1.76930303)×1.69377523937531e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.69377523937531e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.69377523937531e-05×40589641000000     		ar = 13632.3199552368m²