Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102441 / 99242
↖ ↑ ↗
← S 67.519073°
E101.362610°		 ← 116.79 m → S 67.519073°
E101.365357°		 →
↑
116.78 m
↓
↑
116.78 m
↓
S 67.520123°
E101.362610°		 ← 116.78 m →
13 638 m²		 S 67.520123°
E101.365357°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102441 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99242 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781566619873047 y=0.757160186767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781566619873047 × 217)
    floor (0.781566619873047 × 131072)
    floor (102441.5)     		tx = 102441
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757160186767578 × 217)
    floor (0.757160186767578 × 131072)
    floor (99242.5)     		ty = 99242
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102441 / 99242 ti = "17/102441/99242"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102441/99242.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102441 ÷ 217
    102441 ÷ 131072     		x = 0.781562805175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99242 ÷ 217
    99242 ÷ 131072     		y = 0.757156372070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781562805175781 × 2 - 1) × π
    0.563125610351562 × 3.1415926535     		Λ = 1.76911128
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757156372070312 × 2 - 1) × π
    -0.514312744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.61576113859361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76911128} λ = 1.76911128}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61576113859361))-π/2
    2×atan(0.198739344672884)-π/2
    2×0.196183097918452-π/2
    0.392366195836904-1.57079632675     		φ = -1.17843013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76911128} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.362610°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17843013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.519073°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102441 KachelY 99242 1.76911128 -1.17843013 101.362610 -67.519073
    Oben rechts KachelX + 1 102442 KachelY 99242 1.76915922 -1.17843013 101.365357 -67.519073
    Unten links KachelX 102441 KachelY + 1 99243 1.76911128 -1.17844846 101.362610 -67.520123
    Unten rechts KachelX + 1 102442 KachelY + 1 99243 1.76915922 -1.17844846 101.365357 -67.520123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17843013--1.17844846) × R
    1.83300000000663e-05 × 6371000     		dl = 116.780430000423m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17843013--1.17844846) × R
    1.83300000000663e-05 × 6371000     		dr = 116.780430000423m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76911128-1.76915922) × cos(-1.17843013) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382375865618415 × 6371000     		do = 116.787431714568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76911128-1.76915922) × cos(-1.17844846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.382358928508236 × 6371000     		du = 116.782258685158m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17843013)-sin(-1.17844846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.382375865618415-0.382358928508236)×R²
    abs(1.76915922-1.76911128)×1.69371101789717e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69371101789717e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69371101789717e-05×40589641000000     		ar = 13638.1844401904m²