Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10244 / 2468
↖ ↑ ↗
← N 77.293202°
E 45.087890°		 ← 537.43 m → N 77.293202°
E 45.109863°		 →
↑
537.52 m
↓
↑
537.52 m
↓
N 77.288368°
E 45.087890°		 ← 537.63 m →
288 933 m²		 N 77.288368°
E 45.109863°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10244 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625274658203125 y=0.150665283203125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625274658203125 × 214)
    floor (0.625274658203125 × 16384)
    floor (10244.5)     		tx = 10244
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.150665283203125 × 214)
    floor (0.150665283203125 × 16384)
    floor (2468.5)     		ty = 2468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10244 / 2468 ti = "14/10244/2468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10244/2468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10244 ÷ 214
    10244 ÷ 16384     		x = 0.625244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2468 ÷ 214
    2468 ÷ 16384     		y = 0.150634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.625244140625 × 2 - 1) × π
    0.25048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.78693214
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.150634765625 × 2 - 1) × π
    0.69873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.19512650740161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78693214} λ = 0.78693214}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19512650740161))-π/2
    2×atan(8.98113716528109)-π/2
    2×1.45990859382419-π/2
    2.91981718764839-1.57079632675     		φ = 1.34902086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78693214} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.087890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34902086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.293202°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10244 KachelY 2468 0.78693214 1.34902086 45.087890 77.293202
    Oben rechts KachelX + 1 10245 KachelY 2468 0.78731564 1.34902086 45.109863 77.293202
    Unten links KachelX 10244 KachelY + 1 2469 0.78693214 1.34893649 45.087890 77.288368
    Unten rechts KachelX + 1 10245 KachelY + 1 2469 0.78731564 1.34893649 45.109863 77.288368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34902086-1.34893649) × R
    8.43699999999448e-05 × 6371000     		dl = 537.521269999648m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34902086-1.34893649) × R
    8.43699999999448e-05 × 6371000     		dr = 537.521269999648m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78693214-0.78731564) × cos(1.34902086) × R
    0.000383499999999981 × 0.219961951726465 × 6371000     		do = 537.428307471282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78693214-0.78731564) × cos(1.34893649) × R
    0.000383499999999981 × 0.220044254591579 × 6371000     		du = 537.629396292105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34902086)-sin(1.34893649))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.219961951726465-0.220044254591579)×R²
    abs(0.78731564-0.78693214)×8.23028651146529e-05×R²
    0.000383499999999981×8.23028651146529e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.23028651146529e-05×40589641000000     		ar = 288933.191296955m²