Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102438 / 99266
↖ ↑ ↗
← S 67.544265°
E101.354370°		 ← 116.66 m → S 67.544265°
E101.357117°		 →
↑
116.65 m
↓
↑
116.65 m
↓
S 67.545314°
E101.354370°		 ← 116.66 m →
13 609 m²		 S 67.545314°
E101.357117°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102438 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781543731689453 y=0.757343292236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781543731689453 × 217)
    floor (0.781543731689453 × 131072)
    floor (102438.5)     		tx = 102438
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757343292236328 × 217)
    floor (0.757343292236328 × 131072)
    floor (99266.5)     		ty = 99266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102438 / 99266 ti = "17/102438/99266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102438/99266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102438 ÷ 217
    102438 ÷ 131072     		x = 0.781539916992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99266 ÷ 217
    99266 ÷ 131072     		y = 0.757339477539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781539916992188 × 2 - 1) × π
    0.563079833984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76896747
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757339477539062 × 2 - 1) × π
    -0.514678955078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.61691162418449
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76896747} λ = 1.76896747}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.61691162418449))-π/2
    2×atan(0.198510829397468)-π/2
    2×0.195963255837193-π/2
    0.391926511674386-1.57079632675     		φ = -1.17886982
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76896747} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.354370°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17886982 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.544265°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102438 KachelY 99266 1.76896747 -1.17886982 101.354370 -67.544265
    Oben rechts KachelX + 1 102439 KachelY 99266 1.76901541 -1.17886982 101.357117 -67.544265
    Unten links KachelX 102438 KachelY + 1 99267 1.76896747 -1.17888813 101.354370 -67.545314
    Unten rechts KachelX + 1 102439 KachelY + 1 99267 1.76901541 -1.17888813 101.357117 -67.545314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17886982--1.17888813) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dl = 116.653009999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17886982--1.17888813) × R
    1.83099999999659e-05 × 6371000     		dr = 116.653009999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76896747-1.76901541) × cos(-1.17886982) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381969552088612 × 6371000     		do = 116.663333104056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76896747-1.76901541) × cos(-1.17888813) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.381952630382012 × 6371000     		du = 116.658164779296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17886982)-sin(-1.17888813))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.381969552088612-0.381952630382012)×R²
    abs(1.76901541-1.76896747)×1.69217066002814e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.69217066002814e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.69217066002814e-05×40589641000000     		ar = 13608.8275133063m²