Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102434 / 96802
↖ ↑ ↗
← S 64.813895°
E101.343384°		 ← 129.98 m → S 64.813895°
E101.346130°		 →
↑
129.97 m
↓
↑
129.97 m
↓
S 64.815064°
E101.343384°		 ← 129.97 m →
16 893 m²		 S 64.815064°
E101.346130°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102434 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96802 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781513214111328 y=0.738544464111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781513214111328 × 217)
    floor (0.781513214111328 × 131072)
    floor (102434.5)     		tx = 102434
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738544464111328 × 217)
    floor (0.738544464111328 × 131072)
    floor (96802.5)     		ty = 96802
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102434 / 96802 ti = "17/102434/96802"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102434/96802.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102434 ÷ 217
    102434 ÷ 131072     		x = 0.781509399414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96802 ÷ 217
    96802 ÷ 131072     		y = 0.738540649414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781509399414062 × 2 - 1) × π
    0.563018798828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76877572
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738540649414062 × 2 - 1) × π
    -0.477081298828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49879510352068
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76877572} λ = 1.76877572}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49879510352068))-π/2
    2×atan(0.223399170925347)-π/2
    2×0.219790228821409-π/2
    0.439580457642819-1.57079632675     		φ = -1.13121587
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76877572} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.343384°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13121587 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.813895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102434 KachelY 96802 1.76877572 -1.13121587 101.343384 -64.813895
    Oben rechts KachelX + 1 102435 KachelY 96802 1.76882366 -1.13121587 101.346130 -64.813895
    Unten links KachelX 102434 KachelY + 1 96803 1.76877572 -1.13123627 101.343384 -64.815064
    Unten rechts KachelX + 1 102435 KachelY + 1 96803 1.76882366 -1.13123627 101.346130 -64.815064
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13121587--1.13123627) × R
    2.04000000001425e-05 × 6371000     		dl = 129.968400000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13121587--1.13123627) × R
    2.04000000001425e-05 × 6371000     		dr = 129.968400000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76877572-1.76882366) × cos(-1.13121587) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425559845178339 × 6371000     		do = 129.976930627794m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76877572-1.76882366) × cos(-1.13123627) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425541384512004 × 6371000     		du = 129.971292265118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13121587)-sin(-1.13123627))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425559845178339-0.425541384512004)×R²
    abs(1.76882366-1.76877572)×1.84606663347631e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84606663347631e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84606663347631e-05×40589641000000     		ar = 16892.5273069569m²