Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102433 / 99618
↖ ↑ ↗
← S 67.910685°
E101.340637°		 ← 114.83 m → S 67.910685°
E101.343384°		 →
↑
114.87 m
↓
↑
114.87 m
↓
S 67.911718°
E101.340637°		 ← 114.83 m →
13 190 m²		 S 67.911718°
E101.343384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102433 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99618 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781505584716797 y=0.760028839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781505584716797 × 217)
    floor (0.781505584716797 × 131072)
    floor (102433.5)     		tx = 102433
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.760028839111328 × 217)
    floor (0.760028839111328 × 131072)
    floor (99618.5)     		ty = 99618
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102433 / 99618 ti = "17/102433/99618"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102433/99618.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102433 ÷ 217
    102433 ÷ 131072     		x = 0.781501770019531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99618 ÷ 217
    99618 ÷ 131072     		y = 0.760025024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781501770019531 × 2 - 1) × π
    0.563003540039062 × 3.1415926535     		Λ = 1.76872779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.760025024414062 × 2 - 1) × π
    -0.520050048828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.63378541285075
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76872779} λ = 1.76872779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.63378541285075))-π/2
    2×atan(0.195189301801322)-π/2
    2×0.19276563825815-π/2
    0.3855312765163-1.57079632675     		φ = -1.18526505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76872779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.340637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18526505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.910685°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102433 KachelY 99618 1.76872779 -1.18526505 101.340637 -67.910685
    Oben rechts KachelX + 1 102434 KachelY 99618 1.76877572 -1.18526505 101.343384 -67.910685
    Unten links KachelX 102433 KachelY + 1 99619 1.76872779 -1.18528308 101.340637 -67.911718
    Unten rechts KachelX + 1 102434 KachelY + 1 99619 1.76877572 -1.18528308 101.343384 -67.911718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18526505--1.18528308) × R
    1.80300000001132e-05 × 6371000     		dl = 114.869130000721m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18526505--1.18528308) × R
    1.80300000001132e-05 × 6371000     		dr = 114.869130000721m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76872779-1.76877572) × cos(-1.18526505) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.376051470223437 × 6371000     		do = 114.831840331984m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76872779-1.76877572) × cos(-1.18528308) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.376034763586382 × 6371000     		du = 114.826738759378m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18526505)-sin(-1.18528308))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.376051470223437-0.376034763586382)×R²
    abs(1.76877572-1.76872779)×1.67066370546642e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.67066370546642e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.67066370546642e-05×40589641000000     		ar = 13190.340589165m²