Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102432 / 96808
↖ ↑ ↗
← S 64.820907°
E101.337891°		 ← 129.94 m → S 64.820907°
E101.340637°		 →
↑
129.97 m
↓
↑
129.97 m
↓
S 64.822076°
E101.337891°		 ← 129.94 m →
16 888 m²		 S 64.822076°
E101.340637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96808 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781497955322266 y=0.738590240478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781497955322266 × 217)
    floor (0.781497955322266 × 131072)
    floor (102432.5)     		tx = 102432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738590240478516 × 217)
    floor (0.738590240478516 × 131072)
    floor (96808.5)     		ty = 96808
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102432 / 96808 ti = "17/102432/96808"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102432/96808.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102432 ÷ 217
    102432 ÷ 131072     		x = 0.781494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96808 ÷ 217
    96808 ÷ 131072     		y = 0.73858642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781494140625 × 2 - 1) × π
    0.56298828125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76867985
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.73858642578125 × 2 - 1) × π
    -0.4771728515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.4990827249184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76867985} λ = 1.76867985}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4990827249184))-π/2
    2×atan(0.223334925783138)-π/2
    2×0.219729036726512-π/2
    0.439458073453025-1.57079632675     		φ = -1.13133825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76867985} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13133825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.820907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102432 KachelY 96808 1.76867985 -1.13133825 101.337891 -64.820907
    Oben rechts KachelX + 1 102433 KachelY 96808 1.76872779 -1.13133825 101.340637 -64.820907
    Unten links KachelX 102432 KachelY + 1 96809 1.76867985 -1.13135865 101.337891 -64.822076
    Unten rechts KachelX + 1 102433 KachelY + 1 96809 1.76872779 -1.13135865 101.340637 -64.822076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13133825--1.13135865) × R
    2.03999999999205e-05 × 6371000     		dl = 129.968399999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13133825--1.13135865) × R
    2.03999999999205e-05 × 6371000     		dr = 129.968399999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76867985-1.76872779) × cos(-1.13133825) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425449096623732 × 6371000     		do = 129.94310516855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76867985-1.76872779) × cos(-1.13135865) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425430634895127 × 6371000     		du = 129.937466481429m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13133825)-sin(-1.13135865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425449096623732-0.425430634895127)×R²
    abs(1.76872779-1.76867985)×1.84617286055344e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84617286055344e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84617286055344e-05×40589641000000     		ar = 16888.1310446851m²