Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10243 / 6135
↖ ↑ ↗
← N 81.100865°
W123.733521°		 ← 94.50 m → N 81.100865°
W123.728027°		 →
↑
94.48 m
↓
↑
94.48 m
↓
N 81.100015°
W123.733521°		 ← 94.50 m →
8 929 m²		 N 81.100015°
W123.728027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6135 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156303405761719 y=0.0936203002929688 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156303405761719 × 216)
    floor (0.156303405761719 × 65536)
    floor (10243.5)     		tx = 10243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0936203002929688 × 216)
    floor (0.0936203002929688 × 65536)
    floor (6135.5)     		ty = 6135
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10243 / 6135 ti = "16/10243/6135"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10243/6135.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10243 ÷ 216
    10243 ÷ 65536     		x = 0.156295776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6135 ÷ 216
    6135 ÷ 65536     		y = 0.0936126708984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156295776367188 × 2 - 1) × π
    -0.687408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15955733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0936126708984375 × 2 - 1) × π
    0.812774658203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55340689516191
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15955733} λ = -2.15955733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55340689516191))-π/2
    2×atan(12.850810652665)-π/2
    2×1.49313672381426-π/2
    2.98627344762852-1.57079632675     		φ = 1.41547712
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15955733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.733521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41547712 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.100865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10243 KachelY 6135 -2.15955733 1.41547712 -123.733521 81.100865
    Oben rechts KachelX + 1 10244 KachelY 6135 -2.15946145 1.41547712 -123.728027 81.100865
    Unten links KachelX 10243 KachelY + 1 6136 -2.15955733 1.41546229 -123.733521 81.100015
    Unten rechts KachelX + 1 10244 KachelY + 1 6136 -2.15946145 1.41546229 -123.728027 81.100015
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41547712-1.41546229) × R
    1.48300000000212e-05 × 6371000     		dl = 94.4819300001352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41547712-1.41546229) × R
    1.48300000000212e-05 × 6371000     		dr = 94.4819300001352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15955733--2.15946145) × cos(1.41547712) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.154695471414723 × 6371000     		do = 94.4959576633569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15955733--2.15946145) × cos(1.41546229) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.154710122877156 × 6371000     		du = 94.5049075308684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41547712)-sin(1.41546229))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154695471414723-0.154710122877156)×R²
    abs(-2.15946145--2.15955733)×1.46514624332073e-05×R²
    9.58800000003812e-05×1.46514624332073e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×1.46514624332073e-05×40589641000000     		ar = 8928.58325798527m²