Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10243 / 18415
↖ ↑ ↗
← N 61.650771°
W123.733521°		 ← 290.06 m → N 61.650771°
W123.728027°		 →
↑
290.07 m
↓
↑
290.07 m
↓
N 61.648162°
W123.733521°		 ← 290.08 m →
84 142 m²		 N 61.648162°
W123.728027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10243 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156303405761719 y=0.280998229980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156303405761719 × 216)
    floor (0.156303405761719 × 65536)
    floor (10243.5)     		tx = 10243
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.280998229980469 × 216)
    floor (0.280998229980469 × 65536)
    floor (18415.5)     		ty = 18415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10243 / 18415 ti = "16/10243/18415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10243/18415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10243 ÷ 216
    10243 ÷ 65536     		x = 0.156295776367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18415 ÷ 216
    18415 ÷ 65536     		y = 0.280990600585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156295776367188 × 2 - 1) × π
    -0.687408447265625 × 3.1415926535     		Λ = -2.15955733
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.280990600585938 × 2 - 1) × π
    0.438018798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.37607664049333
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15955733} λ = -2.15955733}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37607664049333))-π/2
    2×atan(3.95933721177057)-π/2
    2×1.32340263327666-π/2
    2.64680526655331-1.57079632675     		φ = 1.07600894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15955733} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.733521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07600894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.650771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10243 KachelY 18415 -2.15955733 1.07600894 -123.733521 61.650771
    Oben rechts KachelX + 1 10244 KachelY 18415 -2.15946145 1.07600894 -123.728027 61.650771
    Unten links KachelX 10243 KachelY + 1 18416 -2.15955733 1.07596341 -123.733521 61.648162
    Unten rechts KachelX + 1 10244 KachelY + 1 18416 -2.15946145 1.07596341 -123.728027 61.648162
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07600894-1.07596341) × R
    4.55299999999603e-05 × 6371000     		dl = 290.071629999747m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07600894-1.07596341) × R
    4.55299999999603e-05 × 6371000     		dr = 290.071629999747m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15955733--2.15946145) × cos(1.07600894) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.474844547567817 × 6371000     		do = 290.059494652885m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15955733--2.15946145) × cos(1.07596341) × R
    9.58800000003812e-05 × 0.474884616648524 × 6371000     		du = 290.083970910137m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07600894)-sin(1.07596341))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.474844547567817-0.474884616648524)×R²
    abs(-2.15946145--2.15955733)×4.0069080706584e-05×R²
    9.58800000003812e-05×4.0069080706584e-05×6371000²
    9.58800000003812e-05×4.0069080706584e-05×40589641000000     		ar = 84141.5803589522m²