Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102424 / 99326
↖ ↑ ↗
← S 67.607128°
E101.315918°		 ← 116.35 m → S 67.607128°
E101.318665°		 →
↑
116.33 m
↓
↑
116.33 m
↓
S 67.608174°
E101.315918°		 ← 116.35 m →
13 536 m²		 S 67.608174°
E101.318665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99326 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781436920166016 y=0.757801055908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781436920166016 × 217)
    floor (0.781436920166016 × 131072)
    floor (102424.5)     		tx = 102424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.757801055908203 × 217)
    floor (0.757801055908203 × 131072)
    floor (99326.5)     		ty = 99326
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102424 / 99326 ti = "17/102424/99326"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102424/99326.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102424 ÷ 217
    102424 ÷ 131072     		x = 0.78143310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99326 ÷ 217
    99326 ÷ 131072     		y = 0.757797241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78143310546875 × 2 - 1) × π
    0.5628662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76829635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.757797241210938 × 2 - 1) × π
    -0.515594482421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.6197878381617
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76829635} λ = 1.76829635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.6197878381617))-π/2
    2×atan(0.197940690089697)-π/2
    2×0.195414672283475-π/2
    0.390829344566949-1.57079632675     		φ = -1.17996698
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76829635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.315918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17996698 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.607128°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102424 KachelY 99326 1.76829635 -1.17996698 101.315918 -67.607128
    Oben rechts KachelX + 1 102425 KachelY 99326 1.76834429 -1.17996698 101.318665 -67.607128
    Unten links KachelX 102424 KachelY + 1 99327 1.76829635 -1.17998524 101.315918 -67.608174
    Unten rechts KachelX + 1 102425 KachelY + 1 99327 1.76834429 -1.17998524 101.318665 -67.608174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17996698--1.17998524) × R
    1.82599999998256e-05 × 6371000     		dl = 116.334459998889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17996698--1.17998524) × R
    1.82599999998256e-05 × 6371000     		dr = 116.334459998889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76829635-1.76834429) × cos(-1.17996698) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380955354649741 × 6371000     		do = 116.353571100783m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76829635-1.76834429) × cos(-1.17998524) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.380938471510131 × 6371000     		du = 116.348414555374m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17996698)-sin(-1.17998524))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.380955354649741-0.380938471510131)×R²
    abs(1.76834429-1.76829635)×1.68831396100133e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.68831396100133e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.68831396100133e-05×40589641000000     		ar = 13535.6299213293m²