Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102424 / 96795
↖ ↑ ↗
← S 64.805712°
E101.315918°		 ← 130.02 m → S 64.805712°
E101.318665°		 →
↑
129.97 m
↓
↑
129.97 m
↓
S 64.806881°
E101.315918°		 ← 130.01 m →
16 898 m²		 S 64.806881°
E101.318665°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102424 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96795 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781436920166016 y=0.738491058349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781436920166016 × 217)
    floor (0.781436920166016 × 131072)
    floor (102424.5)     		tx = 102424
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738491058349609 × 217)
    floor (0.738491058349609 × 131072)
    floor (96795.5)     		ty = 96795
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102424 / 96795 ti = "17/102424/96795"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102424/96795.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102424 ÷ 217
    102424 ÷ 131072     		x = 0.78143310546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96795 ÷ 217
    96795 ÷ 131072     		y = 0.738487243652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78143310546875 × 2 - 1) × π
    0.5628662109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76829635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738487243652344 × 2 - 1) × π
    -0.476974487304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.49845954522334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76829635} λ = 1.76829635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49845954522334))-π/2
    2×atan(0.22347414694948)-π/2
    2×0.219861639731485-π/2
    0.439723279462971-1.57079632675     		φ = -1.13107305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76829635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.315918°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13107305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.805712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102424 KachelY 96795 1.76829635 -1.13107305 101.315918 -64.805712
    Oben rechts KachelX + 1 102425 KachelY 96795 1.76834429 -1.13107305 101.318665 -64.805712
    Unten links KachelX 102424 KachelY + 1 96796 1.76829635 -1.13109345 101.315918 -64.806881
    Unten rechts KachelX + 1 102425 KachelY + 1 96796 1.76834429 -1.13109345 101.318665 -64.806881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13107305--1.13109345) × R
    2.04000000001425e-05 × 6371000     		dl = 129.968400000908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13107305--1.13109345) × R
    2.04000000001425e-05 × 6371000     		dr = 129.968400000908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76829635-1.76834429) × cos(-1.13107305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.425689082980813 × 6371000     		do = 130.016403179251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76829635-1.76834429) × cos(-1.13109345) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.42567062355452 × 6371000     		du = 130.010765195316m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13107305)-sin(-1.13109345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425689082980813-0.42567062355452)×R²
    abs(1.76834429-1.76829635)×1.84594262928051e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.84594262928051e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.84594262928051e-05×40589641000000     		ar = 16897.6575157217m²