Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 10242 / 2482
↖ ↑ ↗
← N 77.225360°
E 45.043945°		 ← 540.25 m → N 77.225360°
E 45.065918°		 →
↑
540.32 m
↓
↑
540.32 m
↓
N 77.220501°
E 45.043945°		 ← 540.45 m →
291 965 m²		 N 77.220501°
E 45.065918°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10242 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2482 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.625152587890625 y=0.151519775390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.625152587890625 × 214)
    floor (0.625152587890625 × 16384)
    floor (10242.5)     		tx = 10242
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151519775390625 × 214)
    floor (0.151519775390625 × 16384)
    floor (2482.5)     		ty = 2482
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10242 / 2482 ti = "14/10242/2482"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10242/2482.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10242 ÷ 214
    10242 ÷ 16384     		x = 0.6251220703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2482 ÷ 214
    2482 ÷ 16384     		y = 0.1514892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6251220703125 × 2 - 1) × π
    0.250244140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.78616515
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1514892578125 × 2 - 1) × π
    0.697021484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.18975757464416
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78616515} λ = 0.78616515}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.18975757464416))-π/2
    2×atan(8.93304725502021)-π/2
    2×1.4593165644947-π/2
    2.9186331289894-1.57079632675     		φ = 1.34783680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78616515} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 45.043945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34783680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.225360°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10242 KachelY 2482 0.78616515 1.34783680 45.043945 77.225360
    Oben rechts KachelX + 1 10243 KachelY 2482 0.78654865 1.34783680 45.065918 77.225360
    Unten links KachelX 10242 KachelY + 1 2483 0.78616515 1.34775199 45.043945 77.220501
    Unten rechts KachelX + 1 10243 KachelY + 1 2483 0.78654865 1.34775199 45.065918 77.220501
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34783680-1.34775199) × R
    8.48100000001573e-05 × 6371000     		dl = 540.324510001002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34783680-1.34775199) × R
    8.48100000001573e-05 × 6371000     		dr = 540.324510001002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78616515-0.78654865) × cos(1.34783680) × R
    0.000383499999999981 × 0.221116857801062 × 6371000     		do = 540.250064652866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78616515-0.78654865) × cos(1.34775199) × R
    0.000383499999999981 × 0.221199567730956 × 6371000     		du = 540.452148046312m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34783680)-sin(1.34775199))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.221116857801062-0.221199567730956)×R²
    abs(0.78654865-0.78616515)×8.27099298938705e-05×R²
    0.000383499999999981×8.27099298938705e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.27099298938705e-05×40589641000000     		ar = 291964.946943356m²