Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102403 / 96159
↖ ↑ ↗
← S 64.051776°
E101.258240°		 ← 133.64 m → S 64.051776°
E101.260987°		 →
↑
133.66 m
↓
↑
133.66 m
↓
S 64.052978°
E101.258240°		 ← 133.64 m →
17 863 m²		 S 64.052978°
E101.260987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102403 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781276702880859 y=0.733638763427734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781276702880859 × 217)
    floor (0.781276702880859 × 131072)
    floor (102403.5)     		tx = 102403
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733638763427734 × 217)
    floor (0.733638763427734 × 131072)
    floor (96159.5)     		ty = 96159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102403 / 96159 ti = "17/102403/96159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102403/96159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102403 ÷ 217
    102403 ÷ 131072     		x = 0.781272888183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96159 ÷ 217
    96159 ÷ 131072     		y = 0.733634948730469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781272888183594 × 2 - 1) × π
    0.562545776367188 × 3.1415926535     		Λ = 1.76728968
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733634948730469 × 2 - 1) × π
    -0.467269897460938 × 3.1415926535     		Φ = -1.46797167706498
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76728968} λ = 1.76728968}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46797167706498))-π/2
    2×atan(0.230392321609134)-π/2
    2×0.226440966559501-π/2
    0.452881933119001-1.57079632675     		φ = -1.11791439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76728968} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.258240°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11791439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.051776°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102403 KachelY 96159 1.76728968 -1.11791439 101.258240 -64.051776
    Oben rechts KachelX + 1 102404 KachelY 96159 1.76733762 -1.11791439 101.260987 -64.051776
    Unten links KachelX 102403 KachelY + 1 96160 1.76728968 -1.11793537 101.258240 -64.052978
    Unten rechts KachelX + 1 102404 KachelY + 1 96160 1.76733762 -1.11793537 101.260987 -64.052978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11791439--1.11793537) × R
    2.09800000001703e-05 × 6371000     		dl = 133.663580001085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11791439--1.11793537) × R
    2.09800000001703e-05 × 6371000     		dr = 133.663580001085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76728968-1.76733762) × cos(-1.11791439) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.437558755840309 × 6371000     		do = 133.641706795918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76728968-1.76733762) × cos(-1.11793537) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.437539890741556 × 6371000     		du = 133.635944909171m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11791439)-sin(-1.11793537))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.437558755840309-0.437539890741556)×R²
    abs(1.76733762-1.76728968)×1.88650987529848e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88650987529848e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88650987529848e-05×40589641000000     		ar = 17862.6438910838m²