Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10240 / 6133
↖ ↑ ↗
← N 81.102564°
W123.750000°		 ← 94.47 m → N 81.102564°
W123.744507°		 →
↑
94.48 m
↓
↑
94.48 m
↓
N 81.101715°
W123.750000°		 ← 94.48 m →
8 926 m²		 N 81.101715°
W123.744507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156257629394531 y=0.0935897827148438 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156257629394531 × 216)
    floor (0.156257629394531 × 65536)
    floor (10240.5)     		tx = 10240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0935897827148438 × 216)
    floor (0.0935897827148438 × 65536)
    floor (6133.5)     		ty = 6133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10240 / 6133 ti = "16/10240/6133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10240/6133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10240 ÷ 216
    10240 ÷ 65536     		x = 0.15625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6133 ÷ 216
    6133 ÷ 65536     		y = 0.0935821533203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15625 × 2 - 1) × π
    -0.6875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15984495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0935821533203125 × 2 - 1) × π
    0.812835693359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.55359864276039
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15984495} λ = -2.15984495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55359864276039))-π/2
    2×atan(12.8532750010051)-π/2
    2×1.49315155365203-π/2
    2.98630310730405-1.57079632675     		φ = 1.41550678
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15984495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41550678 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.102564°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10240 KachelY 6133 -2.15984495 1.41550678 -123.750000 81.102564
    Oben rechts KachelX + 1 10241 KachelY 6133 -2.15974908 1.41550678 -123.744507 81.102564
    Unten links KachelX 10240 KachelY + 1 6134 -2.15984495 1.41549195 -123.750000 81.101715
    Unten rechts KachelX + 1 10241 KachelY + 1 6134 -2.15974908 1.41549195 -123.744507 81.101715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41550678-1.41549195) × R
    1.48300000000212e-05 × 6371000     		dl = 94.4819300001352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41550678-1.41549195) × R
    1.48300000000212e-05 × 6371000     		dr = 94.4819300001352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15984495--2.15974908) × cos(1.41550678) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154666168387794 × 6371000     		do = 94.468204084023m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15984495--2.15974908) × cos(1.41549195) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154680819918268 × 6371000     		du = 94.4771530596483m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41550678)-sin(1.41549195))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154666168387794-0.154680819918268)×R²
    abs(-2.15974908--2.15984495)×1.46515304740025e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46515304740025e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46515304740025e-05×40589641000000     		ar = 8925.96100411008m²