Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10240 / 18431
↖ ↑ ↗
← N 61.609009°
W123.750000°		 ← 290.42 m → N 61.609009°
W123.744507°		 →
↑
290.45 m
↓
↑
290.45 m
↓
N 61.606397°
W123.750000°		 ← 290.45 m →
84 357 m²		 N 61.606397°
W123.744507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156257629394531 y=0.281242370605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156257629394531 × 216)
    floor (0.156257629394531 × 65536)
    floor (10240.5)     		tx = 10240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.281242370605469 × 216)
    floor (0.281242370605469 × 65536)
    floor (18431.5)     		ty = 18431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10240 / 18431 ti = "16/10240/18431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10240/18431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10240 ÷ 216
    10240 ÷ 65536     		x = 0.15625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18431 ÷ 216
    18431 ÷ 65536     		y = 0.281234741210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15625 × 2 - 1) × π
    -0.6875 × 3.1415926535     		Λ = -2.15984495
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.281234741210938 × 2 - 1) × π
    0.437530517578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.37454265970549
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15984495} λ = -2.15984495}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.37454265970549))-π/2
    2×atan(3.95326832052647)-π/2
    2×1.32303818615386-π/2
    2.64607637230773-1.57079632675     		φ = 1.07528005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15984495} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07528005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.609009°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10240 KachelY 18431 -2.15984495 1.07528005 -123.750000 61.609009
    Oben rechts KachelX + 1 10241 KachelY 18431 -2.15974908 1.07528005 -123.744507 61.609009
    Unten links KachelX 10240 KachelY + 1 18432 -2.15984495 1.07523446 -123.750000 61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 10241 KachelY + 1 18432 -2.15974908 1.07523446 -123.744507 61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07528005-1.07523446) × R
    4.55900000000398e-05 × 6371000     		dl = 290.453890000253m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07528005-1.07523446) × R
    4.55900000000398e-05 × 6371000     		dr = 290.453890000253m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15984495--2.15974908) × cos(1.07528005) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475485895368015 × 6371000     		do = 290.420969698277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15984495--2.15974908) × cos(1.07523446) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 290.445466009468m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07528005)-sin(1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.475485895368015-0.475526001461152)×R²
    abs(-2.15974908--2.15984495)×4.01060931371489e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.01060931371489e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.01060931371489e-05×40589641000000     		ar = 84357.4579253118m²