Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102399 / 96166
↖ ↑ ↗
← S 64.060188°
E101.247253°		 ← 133.60 m → S 64.060188°
E101.250000°		 →
↑
133.60 m
↓
↑
133.60 m
↓
S 64.061389°
E101.247253°		 ← 133.60 m →
17 849 m²		 S 64.061389°
E101.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102399 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96166 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781246185302734 y=0.733692169189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781246185302734 × 217)
    floor (0.781246185302734 × 131072)
    floor (102399.5)     		tx = 102399
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.733692169189453 × 217)
    floor (0.733692169189453 × 131072)
    floor (96166.5)     		ty = 96166
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102399 / 96166 ti = "17/102399/96166"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102399/96166.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102399 ÷ 217
    102399 ÷ 131072     		x = 0.781242370605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96166 ÷ 217
    96166 ÷ 131072     		y = 0.733688354492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781242370605469 × 2 - 1) × π
    0.562484741210938 × 3.1415926535     		Λ = 1.76709793
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.733688354492188 × 2 - 1) × π
    -0.467376708984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.46830723536232
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76709793} λ = 1.76709793}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.46830723536232))-π/2
    2×atan(0.230315024523539)-π/2
    2×0.226367564399167-π/2
    0.452735128798334-1.57079632675     		φ = -1.11806120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76709793} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.247253°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11806120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.060188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102399 KachelY 96166 1.76709793 -1.11806120 101.247253 -64.060188
    Oben rechts KachelX + 1 102400 KachelY 96166 1.76714587 -1.11806120 101.250000 -64.060188
    Unten links KachelX 102399 KachelY + 1 96167 1.76709793 -1.11808217 101.247253 -64.061389
    Unten rechts KachelX + 1 102400 KachelY + 1 96167 1.76714587 -1.11808217 101.250000 -64.061389
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11806120--1.11808217) × R
    2.0970000000009e-05 × 6371000     		dl = 133.599870000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11806120--1.11808217) × R
    2.0970000000009e-05 × 6371000     		dr = 133.599870000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76709793-1.76714587) × cos(-1.11806120) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.43742674106769 × 6371000     		do = 133.6013860863m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76709793-1.76714587) × cos(-1.11808217) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.437407883614088 × 6371000     		du = 133.595626534579m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11806120)-sin(-1.11808217))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43742674106769-0.437407883614088)×R²
    abs(1.76714587-1.76709793)×1.88574536015285e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88574536015285e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88574536015285e-05×40589641000000     		ar = 17848.7430760058m²