Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102392 / 98599
↖ ↑ ↗
← S 66.834085°
E101.228027°		 ← 120.15 m → S 66.834085°
E101.230774°		 →
↑
120.16 m
↓
↑
120.16 m
↓
S 66.835165°
E101.228027°		 ← 120.15 m →
14 437 m²		 S 66.835165°
E101.230774°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102392 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98599 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781192779541016 y=0.752254486083984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781192779541016 × 217)
    floor (0.781192779541016 × 131072)
    floor (102392.5)     		tx = 102392
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752254486083984 × 217)
    floor (0.752254486083984 × 131072)
    floor (98599.5)     		ty = 98599
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102392 / 98599 ti = "17/102392/98599"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102392/98599.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102392 ÷ 217
    102392 ÷ 131072     		x = 0.78118896484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98599 ÷ 217
    98599 ÷ 131072     		y = 0.752250671386719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78118896484375 × 2 - 1) × π
    0.5623779296875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76676237
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752250671386719 × 2 - 1) × π
    -0.504501342773438 × 3.1415926535     		Φ = -1.58493771213792
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76676237} λ = 1.76676237}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58493771213792))-π/2
    2×atan(0.204960559274253)-π/2
    2×0.202160746512898-π/2
    0.404321493025796-1.57079632675     		φ = -1.16647483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76676237} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.228027°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16647483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.834085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102392 KachelY 98599 1.76676237 -1.16647483 101.228027 -66.834085
    Oben rechts KachelX + 1 102393 KachelY 98599 1.76681031 -1.16647483 101.230774 -66.834085
    Unten links KachelX 102392 KachelY + 1 98600 1.76676237 -1.16649369 101.228027 -66.835165
    Unten rechts KachelX + 1 102393 KachelY + 1 98600 1.76681031 -1.16649369 101.230774 -66.835165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16647483--1.16649369) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dl = 120.157059999706m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16647483--1.16649369) × R
    1.88599999999539e-05 × 6371000     		dr = 120.157059999706m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76676237-1.76681031) × cos(-1.16647483) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.393395055799799 × 6371000     		do = 120.152976030473m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76676237-1.76681031) × cos(-1.16649369) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.393377716420526 × 6371000     		du = 120.147680137727m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16647483)-sin(-1.16649369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393395055799799-0.393377716420526)×R²
    abs(1.76681031-1.76676237)×1.73393792730625e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.73393792730625e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.73393792730625e-05×40589641000000     		ar = 14436.9101810085m²