Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102391 / 98615
↖ ↑ ↗
← S 66.851367°
E101.225281°		 ← 120.04 m → S 66.851367°
E101.228027°		 →
↑
120.03 m
↓
↑
120.03 m
↓
S 66.852446°
E101.225281°		 ← 120.04 m →
14 408 m²		 S 66.852446°
E101.228027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102391 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781185150146484 y=0.752376556396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781185150146484 × 217)
    floor (0.781185150146484 × 131072)
    floor (102391.5)     		tx = 102391
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752376556396484 × 217)
    floor (0.752376556396484 × 131072)
    floor (98615.5)     		ty = 98615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102391 / 98615 ti = "17/102391/98615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102391/98615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102391 ÷ 217
    102391 ÷ 131072     		x = 0.781181335449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98615 ÷ 217
    98615 ÷ 131072     		y = 0.752372741699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781181335449219 × 2 - 1) × π
    0.562362670898438 × 3.1415926535     		Λ = 1.76671444
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752372741699219 × 2 - 1) × π
    -0.504745483398438 × 3.1415926535     		Φ = -1.58570470253184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76671444} λ = 1.76671444}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58570470253184))-π/2
    2×atan(0.204803416765258)-π/2
    2×0.202009934580693-π/2
    0.404019869161385-1.57079632675     		φ = -1.16677646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76671444} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.225281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16677646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.851367°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102391 KachelY 98615 1.76671444 -1.16677646 101.225281 -66.851367
    Oben rechts KachelX + 1 102392 KachelY 98615 1.76676237 -1.16677646 101.228027 -66.851367
    Unten links KachelX 102391 KachelY + 1 98616 1.76671444 -1.16679530 101.225281 -66.852446
    Unten rechts KachelX + 1 102392 KachelY + 1 98616 1.76676237 -1.16679530 101.228027 -66.852446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16677646--1.16679530) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dl = 120.029640000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16677646--1.16679530) × R
    1.88400000000755e-05 × 6371000     		dr = 120.029640000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76671444-1.76676237) × cos(-1.16677646) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.39311772847743 × 6371000     		do = 120.043227596374m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76671444-1.76676237) × cos(-1.16679530) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.393100405250983 × 6371000     		du = 120.03793774078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16677646)-sin(-1.16679530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39311772847743-0.393100405250983)×R²
    abs(1.76676237-1.76671444)×1.73232264468193e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.73232264468193e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.73232264468193e-05×40589641000000     		ar = 14408.427923601m²