Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102390 / 98614
↖ ↑ ↗
← S 66.850287°
E101.222534°		 ← 120.07 m → S 66.850287°
E101.225281°		 →
↑
120.09 m
↓
↑
120.09 m
↓
S 66.851367°
E101.222534°		 ← 120.07 m →
14 420 m²		 S 66.851367°
E101.225281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102390 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781177520751953 y=0.752368927001953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781177520751953 × 217)
    floor (0.781177520751953 × 131072)
    floor (102390.5)     		tx = 102390
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.752368927001953 × 217)
    floor (0.752368927001953 × 131072)
    floor (98614.5)     		ty = 98614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102390 / 98614 ti = "17/102390/98614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102390/98614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102390 ÷ 217
    102390 ÷ 131072     		x = 0.781173706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98614 ÷ 217
    98614 ÷ 131072     		y = 0.752365112304688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781173706054688 × 2 - 1) × π
    0.562347412109375 × 3.1415926535     		Λ = 1.76666650
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.752365112304688 × 2 - 1) × π
    -0.504730224609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58565676563222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76666650} λ = 1.76666650}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58565676563222))-π/2
    2×atan(0.204813234641407)-π/2
    2×0.20201935721095-π/2
    0.404038714421899-1.57079632675     		φ = -1.16675761
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76666650} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.222534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16675761 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.850287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102390 KachelY 98614 1.76666650 -1.16675761 101.222534 -66.850287
    Oben rechts KachelX + 1 102391 KachelY 98614 1.76671444 -1.16675761 101.225281 -66.850287
    Unten links KachelX 102390 KachelY + 1 98615 1.76666650 -1.16677646 101.222534 -66.851367
    Unten rechts KachelX + 1 102391 KachelY + 1 98615 1.76671444 -1.16677646 101.225281 -66.851367
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16675761--1.16677646) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dl = 120.093350000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16675761--1.16677646) × R
    1.88500000000147e-05 × 6371000     		dr = 120.093350000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76666650-1.76671444) × cos(-1.16675761) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.393135060759148 × 6371000     		do = 120.073566852785m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76666650-1.76671444) × cos(-1.16677646) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.39311772847743 × 6371000     		du = 120.068273127815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16675761)-sin(-1.16677646))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.393135060759148-0.39311772847743)×R²
    abs(1.76671444-1.76666650)×1.73322817187405e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.73322817187405e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.73322817187405e-05×40589641000000     		ar = 14419.7190197402m²