Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10239 / 6134
↖ ↑ ↗
← N 81.101715°
W123.755493°		 ← 94.48 m → N 81.101715°
W123.750000°		 →
↑
94.48 m
↓
↑
94.48 m
↓
N 81.100865°
W123.755493°		 ← 94.49 m →
8 927 m²		 N 81.100865°
W123.750000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10239 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156242370605469 y=0.0936050415039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156242370605469 × 216)
    floor (0.156242370605469 × 65536)
    floor (10239.5)     		tx = 10239
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0936050415039062 × 216)
    floor (0.0936050415039062 × 65536)
    floor (6134.5)     		ty = 6134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10239 / 6134 ti = "16/10239/6134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10239/6134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10239 ÷ 216
    10239 ÷ 65536     		x = 0.156234741210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6134 ÷ 216
    6134 ÷ 65536     		y = 0.093597412109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156234741210938 × 2 - 1) × π
    -0.687530517578125 × 3.1415926535     		Λ = -2.15994082
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.093597412109375 × 2 - 1) × π
    0.81280517578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55350276896115
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.15994082} λ = -2.15994082}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55350276896115))-π/2
    2×atan(12.8520427677685)-π/2
    2×1.49314413908431-π/2
    2.98628827816862-1.57079632675     		φ = 1.41549195
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.15994082} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.755493°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41549195 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.101715°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10239 KachelY 6134 -2.15994082 1.41549195 -123.755493 81.101715
    Oben rechts KachelX + 1 10240 KachelY 6134 -2.15984495 1.41549195 -123.750000 81.101715
    Unten links KachelX 10239 KachelY + 1 6135 -2.15994082 1.41547712 -123.755493 81.100865
    Unten rechts KachelX + 1 10240 KachelY + 1 6135 -2.15984495 1.41547712 -123.750000 81.100865
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41549195-1.41547712) × R
    1.48300000000212e-05 × 6371000     		dl = 94.4819300001352m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41549195-1.41547712) × R
    1.48300000000212e-05 × 6371000     		dr = 94.4819300001352m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.15994082--2.15984495) × cos(1.41549195) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154680819918268 × 6371000     		do = 94.4771530596483m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.15994082--2.15984495) × cos(1.41547712) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.154695471414723 × 6371000     		du = 94.4861020144953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41549195)-sin(1.41547712))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154680819918268-0.154695471414723)×R²
    abs(-2.15984495--2.15994082)×1.46514964552147e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.46514964552147e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.46514964552147e-05×40589641000000     		ar = 8926.80651928435m²