Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102388 / 98836
↖ ↑ ↗
← S 67.088828°
E101.217041°		 ← 118.90 m → S 67.088828°
E101.219788°		 →
↑
118.88 m
↓
↑
118.88 m
↓
S 67.089897°
E101.217041°		 ← 118.90 m →
14 135 m²		 S 67.089897°
E101.219788°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102388 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781162261962891 y=0.754062652587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781162261962891 × 217)
    floor (0.781162261962891 × 131072)
    floor (102388.5)     		tx = 102388
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.754062652587891 × 217)
    floor (0.754062652587891 × 131072)
    floor (98836.5)     		ty = 98836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102388 / 98836 ti = "17/102388/98836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102388/98836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102388 ÷ 217
    102388 ÷ 131072     		x = 0.781158447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98836 ÷ 217
    98836 ÷ 131072     		y = 0.754058837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781158447265625 × 2 - 1) × π
    0.56231689453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.76657062
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.754058837890625 × 2 - 1) × π
    -0.50811767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.59629875734787
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76657062} λ = 1.76657062}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.59629875734787))-π/2
    2×atan(0.20264517061622)-π/2
    2×0.19993769450579-π/2
    0.399875389011579-1.57079632675     		φ = -1.17092094
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76657062} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.217041°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.17092094 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.088828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102388 KachelY 98836 1.76657062 -1.17092094 101.217041 -67.088828
    Oben rechts KachelX + 1 102389 KachelY 98836 1.76661856 -1.17092094 101.219788 -67.088828
    Unten links KachelX 102388 KachelY + 1 98837 1.76657062 -1.17093960 101.217041 -67.089897
    Unten rechts KachelX + 1 102389 KachelY + 1 98837 1.76661856 -1.17093960 101.219788 -67.089897
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.17092094--1.17093960) × R
    1.86600000000592e-05 × 6371000     		dl = 118.882860000377m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.17092094--1.17093960) × R
    1.86600000000592e-05 × 6371000     		dr = 118.882860000377m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76657062-1.76661856) × cos(-1.17092094) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389303562922857 × 6371000     		do = 118.903328790272m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76657062-1.76661856) × cos(-1.17093960) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.389286374951559 × 6371000     		du = 118.898079141419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.17092094)-sin(-1.17093960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.389303562922857-0.389286374951559)×R²
    abs(1.76661856-1.76657062)×1.71879712982381e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.71879712982381e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.71879712982381e-05×40589641000000     		ar = 14135.2557438537m²