Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102387 / 98543
↖ ↑ ↗
← S 66.773502°
E101.214295°		 ← 120.42 m → S 66.773502°
E101.217041°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
S 66.774586°
E101.214295°		 ← 120.42 m →
14 508 m²		 S 66.774586°
E101.217041°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102387 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781154632568359 y=0.751827239990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781154632568359 × 217)
    floor (0.781154632568359 × 131072)
    floor (102387.5)     		tx = 102387
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751827239990234 × 217)
    floor (0.751827239990234 × 131072)
    floor (98543.5)     		ty = 98543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102387 / 98543 ti = "17/102387/98543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102387/98543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102387 ÷ 217
    102387 ÷ 131072     		x = 0.781150817871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98543 ÷ 217
    98543 ÷ 131072     		y = 0.751823425292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781150817871094 × 2 - 1) × π
    0.562301635742188 × 3.1415926535     		Λ = 1.76652269
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751823425292969 × 2 - 1) × π
    -0.503646850585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.58225324575919
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76652269} λ = 1.76652269}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58225324575919))-π/2
    2×atan(0.205511508175629)-π/2
    2×0.202689426437402-π/2
    0.405378852874804-1.57079632675     		φ = -1.16541747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76652269} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.214295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16541747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.773502°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102387 KachelY 98543 1.76652269 -1.16541747 101.214295 -66.773502
    Oben rechts KachelX + 1 102388 KachelY 98543 1.76657062 -1.16541747 101.217041 -66.773502
    Unten links KachelX 102387 KachelY + 1 98544 1.76652269 -1.16543638 101.214295 -66.774586
    Unten rechts KachelX + 1 102388 KachelY + 1 98544 1.76657062 -1.16543638 101.217041 -66.774586
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16541747--1.16543638) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16541747--1.16543638) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76652269-1.76657062) × cos(-1.16541747) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.39436694027358 × 6371000     		do = 120.424689446903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76652269-1.76657062) × cos(-1.16543638) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.394349562800809 × 6371000     		du = 120.419383026541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16541747)-sin(-1.16543638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.39436694027358-0.394349562800809)×R²
    abs(1.76657062-1.76652269)×1.73774727705855e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.73774727705855e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.73774727705855e-05×40589641000000     		ar = 14507.9182734613m²