Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102381 / 99403
↖ ↑ ↗
← S 67.687557°
E101.197815°		 ← 115.93 m → S 67.687557°
E101.200561°		 →
↑
115.95 m
↓
↑
115.95 m
↓
S 67.688600°
E101.197815°		 ← 115.93 m →
13 442 m²		 S 67.688600°
E101.200561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102381 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781108856201172 y=0.758388519287109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781108856201172 × 217)
    floor (0.781108856201172 × 131072)
    floor (102381.5)     		tx = 102381
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758388519287109 × 217)
    floor (0.758388519287109 × 131072)
    floor (99403.5)     		ty = 99403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102381 / 99403 ti = "17/102381/99403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102381/99403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102381 ÷ 217
    102381 ÷ 131072     		x = 0.781105041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99403 ÷ 217
    99403 ÷ 131072     		y = 0.758384704589844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781105041503906 × 2 - 1) × π
    0.562210083007812 × 3.1415926535     		Λ = 1.76623507
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758384704589844 × 2 - 1) × π
    -0.516769409179688 × 3.1415926535     		Φ = -1.62347897943244
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76623507} λ = 1.76623507}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62347897943244))-π/2
    2×atan(0.197211409805632)-π/2
    2×0.194712790875885-π/2
    0.38942558175177-1.57079632675     		φ = -1.18137074
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76623507} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.197815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18137074 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.687557°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102381 KachelY 99403 1.76623507 -1.18137074 101.197815 -67.687557
    Oben rechts KachelX + 1 102382 KachelY 99403 1.76628300 -1.18137074 101.200561 -67.687557
    Unten links KachelX 102381 KachelY + 1 99404 1.76623507 -1.18138894 101.197815 -67.688600
    Unten rechts KachelX + 1 102382 KachelY + 1 99404 1.76628300 -1.18138894 101.200561 -67.688600
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18137074--1.18138894) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dl = 115.952199999798m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18137074--1.18138894) × R
    1.81999999999682e-05 × 6371000     		dr = 115.952199999798m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76623507-1.76628300) × cos(-1.18137074) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379657072453193 × 6371000     		do = 115.932854348235m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76623507-1.76628300) × cos(-1.18138894) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.379640235073591 × 6371000     		du = 115.92771285182m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18137074)-sin(-1.18138894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.379657072453193-0.379640235073591)×R²
    abs(1.76628300-1.76623507)×1.68373796013976e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68373796013976e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68373796013976e-05×40589641000000     		ar = 13442.3714303523m²