Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102380 / 98540
↖ ↑ ↗
← S 66.770253°
E101.195068°		 ← 120.47 m → S 66.770253°
E101.197815°		 →
↑
120.41 m
↓
↑
120.41 m
↓
S 66.771336°
E101.195068°		 ← 120.46 m →
14 505 m²		 S 66.771336°
E101.197815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102380 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781101226806641 y=0.751804351806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781101226806641 × 217)
    floor (0.781101226806641 × 131072)
    floor (102380.5)     		tx = 102380
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751804351806641 × 217)
    floor (0.751804351806641 × 131072)
    floor (98540.5)     		ty = 98540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102380 / 98540 ti = "17/102380/98540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102380/98540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102380 ÷ 217
    102380 ÷ 131072     		x = 0.781097412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98540 ÷ 217
    98540 ÷ 131072     		y = 0.751800537109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781097412109375 × 2 - 1) × π
    0.56219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76618713
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751800537109375 × 2 - 1) × π
    -0.50360107421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.58210943506033
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76618713} λ = 1.76618713}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58210943506033))-π/2
    2×atan(0.205541065054491)-π/2
    2×0.202717785403624-π/2
    0.405435570807249-1.57079632675     		φ = -1.16536076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76618713} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.195068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16536076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.770253°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102380 KachelY 98540 1.76618713 -1.16536076 101.195068 -66.770253
    Oben rechts KachelX + 1 102381 KachelY 98540 1.76623507 -1.16536076 101.197815 -66.770253
    Unten links KachelX 102380 KachelY + 1 98541 1.76618713 -1.16537966 101.195068 -66.771336
    Unten rechts KachelX + 1 102381 KachelY + 1 98541 1.76623507 -1.16537966 101.197815 -66.771336
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16536076--1.16537966) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dl = 120.411899999572m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16536076--1.16537966) × R
    1.88999999999329e-05 × 6371000     		dr = 120.411899999572m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76618713-1.76623507) × cos(-1.16536076) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394419053467127 × 6371000     		do = 120.465731275218m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76618713-1.76623507) × cos(-1.16537966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.39440168560667 × 6371000     		du = 120.460426683586m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16536076)-sin(-1.16537966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394419053467127-0.39440168560667)×R²
    abs(1.76623507-1.76618713)×1.73678604567518e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73678604567518e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73678604567518e-05×40589641000000     		ar = 14505.1882202163m²