Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 10238 / 2478
↖ ↑ ↗
← N 77.244780°
E 44.956055°		 ← 539.44 m → N 77.244780°
E 44.978027°		 →
↑
539.56 m
↓
↑
539.56 m
↓
N 77.239928°
E 44.956055°		 ← 539.64 m →
291 116 m²		 N 77.239928°
E 44.978027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.624908447265625 y=0.151275634765625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.624908447265625 × 214)
    floor (0.624908447265625 × 16384)
    floor (10238.5)     		tx = 10238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.151275634765625 × 214)
    floor (0.151275634765625 × 16384)
    floor (2478.5)     		ty = 2478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 10238 / 2478 ti = "14/10238/2478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/10238/2478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10238 ÷ 214
    10238 ÷ 16384     		x = 0.6248779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2478 ÷ 214
    2478 ÷ 16384     		y = 0.1512451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6248779296875 × 2 - 1) × π
    0.249755859375 × 3.1415926535     		Λ = 0.78463117
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1512451171875 × 2 - 1) × π
    0.697509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.19129155543201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.78463117} λ = 0.78463117}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.19129155543201))-π/2
    2×atan(8.9467608934261)-π/2
    2×1.45948603220132-π/2
    2.91897206440265-1.57079632675     		φ = 1.34817574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.78463117} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 44.956055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.34817574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.244780°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10238 KachelY 2478 0.78463117 1.34817574 44.956055 77.244780
    Oben rechts KachelX + 1 10239 KachelY 2478 0.78501467 1.34817574 44.978027 77.244780
    Unten links KachelX 10238 KachelY + 1 2479 0.78463117 1.34809105 44.956055 77.239928
    Unten rechts KachelX + 1 10239 KachelY + 1 2479 0.78501467 1.34809105 44.978027 77.239928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.34817574-1.34809105) × R
    8.46899999999984e-05 × 6371000     		dl = 539.55998999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.34817574-1.34809105) × R
    8.46899999999984e-05 × 6371000     		dr = 539.55998999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.78463117-0.78501467) × cos(1.34817574) × R
    0.000383499999999981 × 0.220786294779757 × 6371000     		do = 539.442407130016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.78463117-0.78501467) × cos(1.34809105) × R
    0.000383499999999981 × 0.220868894025784 × 6371000     		du = 539.644220091951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.34817574)-sin(1.34809105))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.220786294779757-0.220868894025784)×R²
    abs(0.78501467-0.78463117)×8.25992460271041e-05×R²
    0.000383499999999981×8.25992460271041e-05×6371000²
    0.000383499999999981×8.25992460271041e-05×40589641000000     		ar = 291115.985070074m²