Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10238 / 14343
↖ ↑ ↗
← N 70.599846°
W123.760987°		 ← 202.90 m → N 70.599846°
W123.755493°		 →
↑
202.92 m
↓
↑
202.92 m
↓
N 70.598021°
W123.760987°		 ← 202.92 m →
41 174 m²		 N 70.598021°
W123.755493°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10238 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14343 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156227111816406 y=0.218864440917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156227111816406 × 216)
    floor (0.156227111816406 × 65536)
    floor (10238.5)     		tx = 10238
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.218864440917969 × 216)
    floor (0.218864440917969 × 65536)
    floor (14343.5)     		ty = 14343
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10238 / 14343 ti = "16/10238/14343"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10238/14343.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10238 ÷ 216
    10238 ÷ 65536     		x = 0.156219482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14343 ÷ 216
    14343 ÷ 65536     		y = 0.218856811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156219482421875 × 2 - 1) × π
    -0.68756103515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.16003670
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.218856811523438 × 2 - 1) × π
    0.562286376953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.76647475099907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16003670} λ = -2.16003670}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76647475099907))-π/2
    2×atan(5.85019357827124)-π/2
    2×1.40149804433214-π/2
    2.80299608866428-1.57079632675     		φ = 1.23219976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16003670} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.760987°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23219976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.599846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10238 KachelY 14343 -2.16003670 1.23219976 -123.760987 70.599846
    Oben rechts KachelX + 1 10239 KachelY 14343 -2.15994082 1.23219976 -123.755493 70.599846
    Unten links KachelX 10238 KachelY + 1 14344 -2.16003670 1.23216791 -123.760987 70.598021
    Unten rechts KachelX + 1 10239 KachelY + 1 14344 -2.15994082 1.23216791 -123.755493 70.598021
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23219976-1.23216791) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dl = 202.916350000353m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23219976-1.23216791) × R
    3.18500000000554e-05 × 6371000     		dr = 202.916350000353m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16003670--2.15994082) × cos(1.23219976) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.332163670951115 × 6371000     		do = 202.902670002589m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16003670--2.15994082) × cos(1.23216791) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.33219371239581 × 6371000     		du = 202.921020863542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23219976)-sin(1.23216791))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.332163670951115-0.33219371239581)×R²
    abs(-2.15994082--2.16003670)×3.00414446947617e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.00414446947617e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.00414446947617e-05×40589641000000     		ar = 41174.1310504926m²