Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102376 / 98520
↖ ↑ ↗
← S 66.748577°
E101.184082°		 ← 120.57 m → S 66.748577°
E101.186829°		 →
↑
120.60 m
↓
↑
120.60 m
↓
S 66.749662°
E101.184082°		 ← 120.57 m →
14 541 m²		 S 66.749662°
E101.186829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102376 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98520 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781070709228516 y=0.751651763916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781070709228516 × 217)
    floor (0.781070709228516 × 131072)
    floor (102376.5)     		tx = 102376
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751651763916016 × 217)
    floor (0.751651763916016 × 131072)
    floor (98520.5)     		ty = 98520
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102376 / 98520 ti = "17/102376/98520"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102376/98520.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102376 ÷ 217
    102376 ÷ 131072     		x = 0.78106689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98520 ÷ 217
    98520 ÷ 131072     		y = 0.75164794921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.78106689453125 × 2 - 1) × π
    0.5621337890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76599538
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.75164794921875 × 2 - 1) × π
    -0.5032958984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.58115069706793
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76599538} λ = 1.76599538}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58115069706793))-π/2
    2×atan(0.205738219577221)-π/2
    2×0.202906940978723-π/2
    0.405813881957446-1.57079632675     		φ = -1.16498244
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76599538} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.184082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16498244 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.748577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102376 KachelY 98520 1.76599538 -1.16498244 101.184082 -66.748577
    Oben rechts KachelX + 1 102377 KachelY 98520 1.76604332 -1.16498244 101.186829 -66.748577
    Unten links KachelX 102376 KachelY + 1 98521 1.76599538 -1.16500137 101.184082 -66.749662
    Unten rechts KachelX + 1 102377 KachelY + 1 98521 1.76604332 -1.16500137 101.186829 -66.749662
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16498244--1.16500137) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dl = 120.603029999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16498244--1.16500137) × R
    1.89299999999726e-05 × 6371000     		dr = 120.603029999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76599538-1.76604332) × cos(-1.16498244) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.394766675091092 × 6371000     		do = 120.571903867516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76599538-1.76604332) × cos(-1.16500137) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.394749282488344 × 6371000     		du = 120.566591718951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16498244)-sin(-1.16500137))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394766675091092-0.394749282488344)×R²
    abs(1.76604332-1.76599538)×1.73926027481897e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.73926027481897e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.73926027481897e-05×40589641000000     		ar = 14541.0166089584m²