Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102373 / 98535
↖ ↑ ↗
← S 66.764836°
E101.175842°		 ← 120.49 m → S 66.764836°
E101.178589°		 →
↑
120.48 m
↓
↑
120.48 m
↓
S 66.765919°
E101.175842°		 ← 120.49 m →
14 516 m²		 S 66.765919°
E101.178589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102373 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 98535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781047821044922 y=0.751766204833984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781047821044922 × 217)
    floor (0.781047821044922 × 131072)
    floor (102373.5)     		tx = 102373
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.751766204833984 × 217)
    floor (0.751766204833984 × 131072)
    floor (98535.5)     		ty = 98535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102373 / 98535 ti = "17/102373/98535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102373/98535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102373 ÷ 217
    102373 ÷ 131072     		x = 0.781044006347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 98535 ÷ 217
    98535 ÷ 131072     		y = 0.751762390136719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781044006347656 × 2 - 1) × π
    0.562088012695312 × 3.1415926535     		Λ = 1.76585157
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.751762390136719 × 2 - 1) × π
    -0.503524780273438 × 3.1415926535     		Φ = -1.58186975056223
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76585157} λ = 1.76585157}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.58186975056223))-π/2
    2×atan(0.205590335966008)-π/2
    2×0.202765058676291-π/2
    0.405530117352582-1.57079632675     		φ = -1.16526621
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76585157} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.175842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.16526621 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -66.764836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102373 KachelY 98535 1.76585157 -1.16526621 101.175842 -66.764836
    Oben rechts KachelX + 1 102374 KachelY 98535 1.76589951 -1.16526621 101.178589 -66.764836
    Unten links KachelX 102373 KachelY + 1 98536 1.76585157 -1.16528512 101.175842 -66.765919
    Unten rechts KachelX + 1 102374 KachelY + 1 98536 1.76589951 -1.16528512 101.178589 -66.765919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.16526621--1.16528512) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dl = 120.4756100006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.16526621--1.16528512) × R
    1.89100000000941e-05 × 6371000     		dr = 120.4756100006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76585157-1.76589951) × cos(-1.16526621) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394505936600601 × 6371000     		do = 120.492267620553m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76585157-1.76589951) × cos(-1.16528512) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.394488560256022 × 6371000     		du = 120.486960437651m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.16526621)-sin(-1.16528512))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.394505936600601-0.394488560256022)×R²
    abs(1.76589951-1.76585157)×1.73763445783792e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.73763445783792e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.73763445783792e-05×40589641000000     		ar = 14516.0597492975m²