Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10237 / 38907
↖ ↑ ↗
← S 31.928855°
W123.766479°		 ← 518.38 m → S 31.928855°
W123.760987°		 →
↑
518.41 m
↓
↑
518.41 m
↓
S 31.933517°
W123.766479°		 ← 518.35 m →
268 725 m²		 S 31.933517°
W123.760987°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10237 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38907 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.156211853027344 y=0.593681335449219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.156211853027344 × 216)
    floor (0.156211853027344 × 65536)
    floor (10237.5)     		tx = 10237
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.593681335449219 × 216)
    floor (0.593681335449219 × 65536)
    floor (38907.5)     		ty = 38907
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10237 / 38907 ti = "16/10237/38907"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10237/38907.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10237 ÷ 216
    10237 ÷ 65536     		x = 0.156204223632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38907 ÷ 216
    38907 ÷ 65536     		y = 0.593673706054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.156204223632812 × 2 - 1) × π
    -0.687591552734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.16013257
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.593673706054688 × 2 - 1) × π
    -0.187347412109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.588569253535049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.16013257} λ = -2.16013257}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.588569253535049))-π/2
    2×atan(0.555120954172049)-π/2
    2×0.506766342063198-π/2
    1.0135326841264-1.57079632675     		φ = -0.55726364
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.16013257} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -123.766479°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55726364 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.928855°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10237 KachelY 38907 -2.16013257 -0.55726364 -123.766479 -31.928855
    Oben rechts KachelX + 1 10238 KachelY 38907 -2.16003670 -0.55726364 -123.760987 -31.928855
    Unten links KachelX 10237 KachelY + 1 38908 -2.16013257 -0.55734501 -123.766479 -31.933517
    Unten rechts KachelX + 1 10238 KachelY + 1 38908 -2.16003670 -0.55734501 -123.760987 -31.933517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55726364--0.55734501) × R
    8.13700000000805e-05 × 6371000     		dl = 518.408270000513m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55726364--0.55734501) × R
    8.13700000000805e-05 × 6371000     		dr = 518.408270000513m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.16013257--2.16003670) × cos(-0.55726364) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.848705453884366 × 6371000     		do = 518.378911564858m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.16013257--2.16003670) × cos(-0.55734501) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.8486624172632 × 6371000     		du = 518.352625322988m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55726364)-sin(-0.55734501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848705453884366-0.8486624172632)×R²
    abs(-2.16003670--2.16013257)×4.30366211658928e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.30366211658928e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.30366211658928e-05×40589641000000     		ar = 268725.101395144m²