Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 102368 / 99379
↖ ↑ ↗
← S 67.662518°
E101.162110°		 ← 116.06 m → S 67.662518°
E101.164856°		 →
↑
116.08 m
↓
↑
116.08 m
↓
S 67.663562°
E101.162110°		 ← 116.05 m →
13 471 m²		 S 67.663562°
E101.164856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 99379 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.781009674072266 y=0.758205413818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.781009674072266 × 217)
    floor (0.781009674072266 × 131072)
    floor (102368.5)     		tx = 102368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.758205413818359 × 217)
    floor (0.758205413818359 × 131072)
    floor (99379.5)     		ty = 99379
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102368 / 99379 ti = "17/102368/99379"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102368/99379.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102368 ÷ 217
    102368 ÷ 131072     		x = 0.781005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 99379 ÷ 217
    99379 ÷ 131072     		y = 0.758201599121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.781005859375 × 2 - 1) × π
    0.56201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76561189
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.758201599121094 × 2 - 1) × π
    -0.516403198242188 × 3.1415926535     		Φ = -1.62232849384156
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76561189} λ = 1.76561189}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.62232849384156))-π/2
    2×atan(0.197438429257235)-π/2
    2×0.194931302127037-π/2
    0.389862604254073-1.57079632675     		φ = -1.18093372
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76561189} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.162110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18093372 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -67.662518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102368 KachelY 99379 1.76561189 -1.18093372 101.162110 -67.662518
    Oben rechts KachelX + 1 102369 KachelY 99379 1.76565982 -1.18093372 101.164856 -67.662518
    Unten links KachelX 102368 KachelY + 1 99380 1.76561189 -1.18095194 101.162110 -67.663562
    Unten rechts KachelX + 1 102369 KachelY + 1 99380 1.76565982 -1.18095194 101.164856 -67.663562
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18093372--1.18095194) × R
    1.82199999998467e-05 × 6371000     		dl = 116.079619999023m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18093372--1.18095194) × R
    1.82199999998467e-05 × 6371000     		dr = 116.079619999023m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76561189-1.76565982) × cos(-1.18093372) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.38006133531501 × 6371000     		do = 116.056300876373m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76561189-1.76565982) × cos(-1.18095194) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.380044482457288 × 6371000     		du = 116.051154653528m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18093372)-sin(-1.18095194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.38006133531501-0.380044482457288)×R²
    abs(1.76565982-1.76561189)×1.68528577219051e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.68528577219051e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.68528577219051e-05×40589641000000     		ar = 13471.4726188939m²