Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102366 / 96218
↖ ↑ ↗
← S 64.122592°
E101.156616°		 ← 133.30 m → S 64.122592°
E101.159363°		 →
↑
133.28 m
↓
↑
133.28 m
↓
S 64.123791°
E101.156616°		 ← 133.30 m →
17 766 m²		 S 64.123791°
E101.159363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102366 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780994415283203 y=0.734088897705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780994415283203 × 217)
    floor (0.780994415283203 × 131072)
    floor (102366.5)     		tx = 102366
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734088897705078 × 217)
    floor (0.734088897705078 × 131072)
    floor (96218.5)     		ty = 96218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102366 / 96218 ti = "17/102366/96218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102366/96218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102366 ÷ 217
    102366 ÷ 131072     		x = 0.780990600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96218 ÷ 217
    96218 ÷ 131072     		y = 0.734085083007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780990600585938 × 2 - 1) × π
    0.561981201171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.76551601
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734085083007812 × 2 - 1) × π
    -0.468170166015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.47079995414256
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76551601} λ = 1.76551601}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.47079995414256))-π/2
    2×atan(0.229741628890475)-π/2
    2×0.225822984168689-π/2
    0.451645968337379-1.57079632675     		φ = -1.11915036
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76551601} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.156616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11915036 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.122592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102366 KachelY 96218 1.76551601 -1.11915036 101.156616 -64.122592
    Oben rechts KachelX + 1 102367 KachelY 96218 1.76556395 -1.11915036 101.159363 -64.122592
    Unten links KachelX 102366 KachelY + 1 96219 1.76551601 -1.11917128 101.156616 -64.123791
    Unten rechts KachelX + 1 102367 KachelY + 1 96219 1.76556395 -1.11917128 101.159363 -64.123791
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11915036--1.11917128) × R
    2.09200000000909e-05 × 6371000     		dl = 133.281320000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11915036--1.11917128) × R
    2.09200000000909e-05 × 6371000     		dr = 133.281320000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76551601-1.76556395) × cos(-1.11915036) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436447050267407 × 6371000     		do = 133.302163298653m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76551601-1.76556395) × cos(-1.11917128) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.436428227821473 × 6371000     		du = 133.296414439175m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11915036)-sin(-1.11917128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436447050267407-0.436428227821473)×R²
    abs(1.76556395-1.76551601)×1.88224459340414e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.88224459340414e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.88224459340414e-05×40589641000000     		ar = 17766.3051761991m²