Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 102362 / 96235
↖ ↑ ↗
← S 64.142963°
E101.145630°		 ← 133.18 m → S 64.142963°
E101.148376°		 →
↑
133.22 m
↓
↑
133.22 m
↓
S 64.144161°
E101.145630°		 ← 133.17 m →
17 741 m²		 S 64.144161°
E101.148376°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 102362 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 96235 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.780963897705078 y=0.734218597412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.780963897705078 × 217)
    floor (0.780963897705078 × 131072)
    floor (102362.5)     		tx = 102362
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.734218597412109 × 217)
    floor (0.734218597412109 × 131072)
    floor (96235.5)     		ty = 96235
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 102362 / 96235 ti = "17/102362/96235"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/102362/96235.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 102362 ÷ 217
    102362 ÷ 131072     		x = 0.780960083007812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 96235 ÷ 217
    96235 ÷ 131072     		y = 0.734214782714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.780960083007812 × 2 - 1) × π
    0.561920166015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.76532427
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.734214782714844 × 2 - 1) × π
    -0.468429565429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.4716148814361
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.76532427} λ = 1.76532427}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4716148814361))-π/2
    2×atan(0.229554482432365)-π/2
    2×0.225645213045293-π/2
    0.451290426090586-1.57079632675     		φ = -1.11950590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.76532427} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 101.145630°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.11950590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.142963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 102362 KachelY 96235 1.76532427 -1.11950590 101.145630 -64.142963
    Oben rechts KachelX + 1 102363 KachelY 96235 1.76537220 -1.11950590 101.148376 -64.142963
    Unten links KachelX 102362 KachelY + 1 96236 1.76532427 -1.11952681 101.145630 -64.144161
    Unten rechts KachelX + 1 102363 KachelY + 1 96236 1.76537220 -1.11952681 101.148376 -64.144161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.11950590--1.11952681) × R
    2.09099999999296e-05 × 6371000     		dl = 133.217609999551m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.11950590--1.11952681) × R
    2.09099999999296e-05 × 6371000     		dr = 133.217609999551m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.76532427-1.76537220) × cos(-1.11950590) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.436127132704471 × 6371000     		do = 133.176666580798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.76532427-1.76537220) × cos(-1.11952681) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.43610831601249 × 6371000     		du = 133.170920677537m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.11950590)-sin(-1.11952681))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.436127132704471-0.43610831601249)×R²
    abs(1.76537220-1.76532427)×1.881669198045e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.881669198045e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.881669198045e-05×40589641000000     		ar = 17741.0945024557m²